D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
(a, b, c) を判別式 D の２次形式とする。
σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) で det(σ) = ps - qr = -1 とし、
(a, b, c)σ = (a, b, c) とする。
このとき p + s = 0 となることを証明しよう。
過去スレ４の280より
a = ap^2 + bpr + cr^2
b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs
c = aq^2 + bqs + cs^2

qr = ps + 1 を
b = 2apq + b(ps + qr) + 2crs に代入すると
b = 2apq + b(2ps + 1) + 2crs
よって
2apq + 2bps + 2crs = 0
apq + bps + crs = 0
apq + (bp + cr)s = 0
両辺に r を掛けて
apqr + (bp + cr)rs = 0

一方 a = ap^2 + bpr + cr^2 より
a = ap^2 + (bp + cr)r
両辺に s を掛けて
as = asp^2 + (bp + cr)rs
これに、上の
0 = apqr + (bp + cr)rs を辺々引いて
as = asp^2 - apqr
両辺を a で割って
s = sp^2 - pqr
s = p(sp - qr)
s = -p
証明終