D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
(a, b, c) を判別式 D の両面形式(>>438)とする。

b ≡ 0 (mod a) だから b = an となる有理整数 n がある。

σ = (1, n)/(0 -1) は GL_2(Z) の元で det(σ) = -1 である。

(a, b, c)σ = (k, l, m) とする。

σ = (1, n)/(0 -1) = (p, q)/(r, s) とおく。

p = 1
q = n
r = 0
s = -1
である。

過去スレ４の280より
k = ap^2 + bpr + cr^2 = a
l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs = 2an - b = b
m = aq^2 + bqs + cs^2 = an^2 - bn + c = c

即ち (a, b, c)σ = (a, b, c) である。