>>41 の続き

θ = k_0 + 1/θ_1 = (k_0θ_1 + 1)/θ_1

この右端の式は A_0(θ_1) と書ける。
ここで A_0 は２次の正方行列 (k_0, 1)/(1, 0) を表す
(過去スレ４の196)。
det(A_0) = -1 だから A_0 ∈ GL_2(Z) である(過去スレ４の285)。

GL_2(Z) の元は R ∪ {∞} に一次分数変換として作用する
(過去スレ４の285)。

A_0(θ_1) は θ_1 に A_0 を作用させたものである。

同様に
θ_1 = k_1 + 1/θ_2 = (k_1θ_2 + 1)/θ_2 = A_1(θ_2)
A_1 = (k_1, 1)/(1, 0)

一般に、
θ_n = A_n(θ_(n+1))
A_n = (k_n, 1)/(1, 0)

ただし、θ_0 = θ

以上から、
θ = A_0A_1. . . A_n(θ_(n+1))

B_n = A_0A_1. . . A_n とおき、
B_n = (p_n, r_n)/(q_n, s_n) とする。
ここで、p_n, r_n, q_n, s_n は有理整数である。