>>412 の続き。

R を判別式 D の整環とする。
過去スレ４の590より
R = {(x + y√D)/2 ; x ∈ Z, y ∈ Z, x ≡ yD (mod 2) } である。

R の単数でノルムが１となるもの全体を (R^*)+ と書く
即ち (R^*)+ = { α ∈ R^* ; N(α) ＞ 0 } である(>>281)。

α = (t + u√D)/2 が R の単数なら、
N(α) = αα' = (t + u√D)/2 (t - u√D)/2 = (t^2 - Du^2)/4 = ±1

特に N(α) = 1 なら t^2 - Du^2 = 4 である。
よって (t, u) ∈ Pell+(D) である。

逆に (t, u) ∈ Pell+(D) なら、
>>132 より α = (t + u√D)/2 は R の単数である。
明らかに、N(α) = 1 である。

以上から Pell+(D) と (R^*)+ は集合として同型である。

>>412 より Pell+(D) と U(f) は集合として同型であるから
U(f) と (R^*)+ は集合として同型である。