>>411 の続き。

t^2 - Du^2 = 4 の有理整数解 (t, u) の集合を Pell+(D) と書こう。

(t, u) ∈ Pell+(D) のとき
φ(t, u) = (p, q)/(r, s) ∈ SL_2(Z) と書く。
ここで
p = (t - bu)/2
s = (t + bu)/2
q = -cu
r = au

>>411 より φ は Pell+(D) から U(f) への写像である。
>>409 より φ は全射である。

φ が単射であることを示そう。

(t, u) と (t', u') を Pell+(D) の元で、
φ(t, u) = φ(t', u') とする。

a ≠ 0 だから(a = 0 なら D = b^2 となって D は平方数となって
仮定に反する)、
au = au' より u = u' である。

よって
(t - bu)/2 = (t' - bu')/2 より t = t' である

よって
(t, u) = (t', u')
よって φ は単射である。