補題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
(a, b, c) を判別式 D の2次形式とする。
σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) とし、
(a, b, c)σ = (k, l, m)とする。

θ = (-b + √D)/2a とおき、τ = (-sθ + q)/(rθ - p) とする。
即ち θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。
このとき τ = (-l + (ps - qr)√D)/2k

証明
過去スレ４の401より
k = ap^2 + bpr + cr^2
l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs
m = aq^2 + bqs + cs^2

τ = (-sθ + q)/(rθ - p)
に θ = (-b + √D)/2a を代入すると、
τ = (-s(-b + √D) + 2aq)/(r(-b + √D) - 2ap)
この分子と分母にそれぞれ (r(-b - √D) - 2ap) を掛けると

分子 = (-s(-b + √D) + 2aq)(r(-b - √D) - 2ap)
= -4acrs - 2apsb - 2aqrb + (2aps - 2aqr)√D
= -2a(2crs + psb + qrb + 2apq) + 2a(ps - qr)√D
= -2al + 2a(ps - qr)√D

分母 = (r(-b + √D) - 2ap)(r(-b - √D) - 2ap)
= 4acr^2 + 4abpr + 4a^2p^2
= 4a(cr^2 + bpr + ap^2) = 4ak

よって τ= (-l + (ps - qr)√D)/2k
証明終