ρ(a, b, c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) とおく。
即ち
ρ(a, b, c) = (a, b, c)σ
である。

ρ(a, b, c) = (a_1, b_1, c_1) とおく。

|c_1| ＜ |a_1| なら、即ち |a - sign(c)bn + cn^2| ＜ |c| なら

ρ(a_1, b_1, c_1) = (a_2, b_2, c_2) とおく。

以下同様にして
|c_(n-1)| ＜ |a_(n-1)| なら
ρ(a_(n-1), b_(n-1), c_(n-1)) = (a_n, b_n, c_n) とおく。

|c| = |a_1| ＞ |c_1| = |a_2| ＞ . . . ＞ |c_(n-1)| = |a_n|

|c| は有限だからこの過程は有限回で終わる。
よって |a_n| ≦ |c_n| となる n がある。

このとき (ρ^n)(a, b, c) = (a_n, b_n, c_n) は簡約された２次形式
であることを証明しよう。