(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。
D = b^2 - 4ac は平方数でないと仮定しているから c ≠ 0 である。

>>340 と同様に

n = [(b + √D)/2|c|]
r = -b + 2|c|n とおく。

>>340 と同様に
√D - 2|c| ＜ r ＜ √D
である。

>>339 を参考にして２次形式 (c, r, (r^2 - D)/4c) を考える。

r^2 - D = (-b + 2|c|n)^2 - D
= b^2 - 4b|c|n + 4c^2 n^2 - b^2 + 4ac
= - 4b|c|n + 4c^2 n^2 + 4ac

よって
(r^2 - D)/4c = a - sign(c)bn + cn^2

よって
(c, r, (r^2 - D)/4c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2)

σ = (0, 1)/(-1, -sign(c)n) とおく。
det(σ) = 1 だから σ ∈ SL_2(Z) である。

過去スレ４の280より
(a, b, c)σ = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2)
である。