>>21

y^2 = x^3 - 2 の整数解は (x, y) = (3, 5), (3, -5) だけですね。

この式は (y + √(-2))(y - √(-2)) = x^3 と書ける。

２次体 Q(√(-2)) の整数環 Z[(-2)] は一意分解整域であることから、
αα' = x^3 から α = β^3 となる β ∈ Z[(-2)] があることが
結論される。ここで α = y + √(-2) と α' = y - √(-2) とおいた。
β = a + b√(-2) とすると
α = a^3 - 6ab^2 + (3a^2b - 2b^3)√(-2)

3a^2b - 2b^3 = b(3a^2 - 2b^2) = 1 から b = ±1
よって -2b^2 + 3a^2 = ±1 だが -2b^2 + 3a^2 = -1 なら
3a^2 = 1 となって矛盾である。よって b = 1
-2b^2 + 3a^2 = 1 から a = ±1
よって y = a^3 - 6ab^2 = ±5
x = 3