補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R の分数イデアルとする。
γ ≠ 0 を２次体 Q(√m) の元とする。

このとき
N(γI) = |N(γ)|N(I) である。

証明
γ = α/β と書ける。ここで α, β は R の元である。

γI = (α/β)I = (1/β)αI

αI ⊂ R であるから >>166 より
N(γI) = N(αI)/|N(β)|

>>171 より
N(γI) = |N(α)|N(I)/|N(β)| = |N(γ)|N(I)
証明終