補題
R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、
I ≠ 0 を R のイデアルとする。
R = [μ, ν] を R のある基底による表示とする。
I = [α, β] を I のある基底による表示とする。
I ⊂ R だから
α = pμ + qν
β = rμ + sν
と書ける。ここで p, q, r, s は有理整数である。

このとき
αβ' - α'β = (ps - qr)(μν' - μ'ν)

証明
(α, α')/(β, β') = (p, q)/(r, s) (μ, μ')/(ν, ν')
である。

両辺の行列式をとればよい。
証明終