補題
α を２次無理数とする。
p, q, r, s を有理数で、ps - qr ≠ 0 とする。
α = (pβ + r)/(qβ + s) とする。
つまり、β = (sα - r)/(-qα + p) とおく。

このとき β も２次無理数であり、
α' = (pβ' + r)/(qβ' + s) である。
ここで α' と β' はそれぞれ α と β の共役である。

証明
Q(α) は２次体である。σ ≠ 1 を Q(α) の自己同型とする。
σ(α) = α' である。

β ∈ Q(α) で β は有理数でないから β は２次無理数である。

α = (pβ + r)/(qβ + s) より
σ(α) = (pσ(β) + r)/(qσ(β) + s)

σ(β) = β' だから
α' = (pβ' + r)/(qβ' + s) である。
証明終