557 ：ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ ：2006/11/18(土) 12:00:16
さて、きのうの僕の問題です。
『 3次方程式の解がすべて実数であるための条件は、判別式　D>0　であることを示せ.』

判別式の定義は532さんの書いてくれたのを使います.
D　=　Π_{i<j}(x_i-x_j)^2　＝　(x_2-x_1)^2 (x_3-x_1)^2 (x_3-x_2)^2

すべて実数→D ＞ ０
これは実数(≠0)の2乗は正ですから、あきらかです。

Ｄ> 0　→　すべて実数
対偶をとります。
３つの解がすべて実数ということでははないとします。
重解があるときは　Ｄ＝０です。
重解はないとしますと、１つは実解、他の２つは共役の複素解となります。
x_1=a　、x_2=b+ci　、x_3=b-ci　　(a,b,cは実数）
としますと、
D ＝ (b+ci-a)^2 (b-ci-a)^2 (b+ci - (b-ci))^2
= ((b-a)^2+c^2)^2 (-4c^2)
ですから、D < 0 となります。以上よりD ≦０