俺が知ってることを適当に書くと、

行列には和と積が定義される。
線型変換を表現したりする役割を持っている。
多変数の積分の変数変換や、連立微分方程式の数値計算にも用いられる。

ベクトルには積は定義されていない。
そのかわりに内積が定義されそれに伴ってノルム(大きさ)や成す角が定義される。
複数の変数をまとめて書く時などに使われ、式を簡潔にしたりできる。
物理学で重要な役割を果たす。