数２の範囲の積分法の証明について質問です

y=f(x)が>0で　x=a X=b で囲まれた図形の面積をSとおく
このとき微分するとf(x)となる関数F(x)をとると　面積Sは　　　　
S=F(b)-F(a) と表せる　
ここでbを変数tに変えx=a X=t で囲まれた図形の面積をS(t)とする
この後　S'(t)=f(t) となって　F(t)=S(t)+Cとなる定数Cがある　の部分なんですが
なぜS(t)+Cとなるんですか？
F(t)+C=S(t) F(t)+C=S(t)+C でもいいんじゃないんですか？