半径1の円(円周2π)に内接する正8角形を考える。8角形の
周 C はあきらかに円周より短く、それは 16sin(π/8)である。
よって π > (C/2) = 8sin(π/8)。
sin^2(π/8) = (1-cos(π/4))/2 = (1-√2/2)/2より、
π > 8√((1-√2)/2) = 4√(2-√2).
ここで 4√(2-√2) > 3.05 = 305/100 = 61/20を証明しよう。
上を両辺4で割り 2乗すれば、2-√2 > (61/80)^2がいえれば
よい。これをふたたび整理すれば、(2-(61/80))^2 > 2
がいえればよい。不等式の左辺を実際に計算すれば、
82246761/409600 > 2 となることがわかる。以上より、
π > 8sin(π/8) > 3.05 がわかった。