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円周率の問題

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0001mori

2007/02/28(水) 22:47:36

もう別のスレッド出てるかな？？

問題
円周率が3.05より大きい事を証明しなさい。

0002１３２人目の素数さん

2007/02/28(水) 22:48:25

２ゲット

0003１３２人目の素数さん

2007/02/28(水) 22:49:00

3ゲット

0004１３２人目の素数さん

2007/02/28(水) 22:49:37

４様ゲット

0005１３２人目の素数さん

2007/02/28(水) 22:50:06

Ｃｉｎｃｏ！

0006にょにょ ◆yxpks8XH5Y

2007/02/28(水) 22:56:28

６

0007１３２人目の素数さん

2007/02/28(水) 23:18:08

>>6
にょにょ最近以前のようなキレがないぞ…
そんな中途半端だからウザったがられるんだ

0008にょにょ ◆yxpks8XH5Y

2007/02/28(水) 23:36:33

（´・ω・｀）

0009１３２人目の素数さん

2007/02/28(水) 23:59:29

半径1の円(円周2π)に内接する正8角形を考える。8角形の
周 C はあきらかに円周より短く、それは 16sin(π/8)である。
よって π > (C/2) = 8sin(π/8)。
sin^2(π/8) = (1-cos(π/4))/2 = (1-√2/2)/2より、
π > 8√((1-√2)/2) = 4√(2-√2).
ここで 4√(2-√2) > 3.05 = 305/100 = 61/20を証明しよう。
上を両辺4で割り 2乗すれば、2-√2 > (61/80)^2がいえれば
よい。これをふたたび整理すれば、(2-(61/80))^2 > 2
がいえればよい。不等式の左辺を実際に計算すれば、
82246761/409600 > 2 となることがわかる。以上より、
π > 8sin(π/8) > 3.05 がわかった。

0010１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 00:28:45

arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - ...= π　はよく知られた級数
である。これをオイラー変換すれば、πに収束する別の級数
π = 2(1 + 1/3 + 2!/(3・5) + 3!/(3・5・7) + 4!/(3・5・7・9)+…)
を得る。上を4!/...の項まで実際に計算すると、976/315 = 3.098...
である。正項級数を途中で打ち切ったことを考慮すれば、
π > 3.098 > 3.05である。

0011１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 01:31:12

∫[0,1/2]√(1-x^2)dx = (1/2)（√3/4 + π/6) ...(A)である。
この積分を数値的に行う。0≦x≦1/4 の上にたち、円周√(1-x^2)に
内接する台形の面積は (1/8)(1+√15/4). 同様に1/4≦x≦1/2の
台形の面積は(1/8)(√15/4 + √3/2). この2つの台形の面積の和は
内接図形で求めたものだから(A)の積分より小さいのだが、この
関係を整理すれば π > 3/2 + (3√3/4)(√5-1) = 3.1057.
よって π > 3/2 + (3√3/4)(√5-1) > 3.05 である。

0012１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 11:06:15

>>9
>>10
>>11
こういうのって、証明の前提としてπの値を使ってるんじゃないのかな？
循環してる。多分してると思う。してるんじゃないかな。

0013１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 11:16:21

πのより正しい値はだれだって知っている。それを前提に、知っている
値は絶対口外しないようにして、行えばよい。証明ってのは、結論は
わかっている場合に、結論に行き着くまでの論理を楽しむもの。
別に循環はしていない。わからない値を求める「問題」なら、また
別の解法となる。

0014１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 16:02:28

高校の数学というのは厳密な定義を行っていない
だから厳密に正しいんだと言える保障は無い
しかし厳密な定義を行ってないからこそ循環論法や矛盾を回避する余地が残るのである

0015１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 17:07:11

>>14
意味不明。なんのこと？

0016１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 19:46:01

>>15
円周率関連の定義の事

0017１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 19:53:54

円周率は円の周長と直径の比のことで、高校でも小学校でも大学の
数学科でもこれ以外の定義はないと思うけど。それはともかく、高校
の数学に詳しいようだけど、高校ではこういう問題、どう扱うの？
（オレにはもう忘却の彼方）

0018１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 22:38:23

>>17
高校に定義→命題→証明の過程がはっきり書いてある訳無い

0019１３２人目の素数さん

2007/03/01(木) 22:48:17

大学の数学科でもこれ以外の定義はない

なんてことはないだろｗ

0020１３２人目の素数さん

2007/03/02(金) 13:41:18

連分数

0021１３２人目の素数さん

2007/03/02(金) 15:52:25

半径2の円の面積は4πであることを示せ。

0022１３２人目の素数さん

2007/03/02(金) 17:16:52

半径１の円の面積はπであることを示せ。

0023１３２人目の素数さん

2007/03/02(金) 19:25:49

>>1
これって東大理系の入試問題だよな？
何年度の問題だっけ

ドラゴン桜にものってたな

0024１３２人目の素数さん

2007/03/02(金) 19:25:57

πが無理数であることを示せ。

0025１３２人目の素数さん

2007/03/02(金) 21:28:28

πはオッパイと無関係な事を示せ

0026１３２人目の素数さん

2007/03/02(金) 23:58:07

－１は良いオッパイ

0027１３２人目の素数さん

2007/03/03(土) 03:00:43

π-λ.....　犬のお散歩～♪

0028１３２人目の素数さん

2007/03/03(土) 19:54:35

電車の中の広告に載ってたので30年ぶりに入試問題を解いてみた。
12角形の周囲で考えると
sin(15°)･2･6=(√2･(√3-1))/4･12=3.09>3.05
これでいいんでしょ？
>10、>11は高校範囲か？ >9はわけわからん

0029１３２人目の素数さん

2007/03/03(土) 21:02:28

>>10は確かに範囲外だけど
>>11は範囲内。
>>9は>>28の手法をより詳細に証明しただけじゃないかな？
π/8=15°だし

0030１３２人目の素数さん

2007/03/03(土) 23:42:02

>>29
90,45,22.5・・・
どう数えても22.5°です。

0031１３２人目の素数さん

2007/03/03(土) 23:58:39

pie

0032１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 08:03:52

π = 4∫[0,1]dx/(1+x^2)
被積分関数に注目すると、
1/(1+x^2) = 1-x^2 + (x^4)/(1+x^2)≧1-x^2 + (x^4)/2
なので、
π ≧ 4∫[0,1](1-x^2 + (x^4)/2)dx = 4(1-1/3+1/10)
　　= 3.0666...

（類似解法）
π = 6∫[0,1/2]dx/√(1-x^2)
被積分関数に注目すると、
1/√(1-x^2) = 1 + (x^2)/(√(1-x^2)+1-x^2)≧1+(x^2)/2
なので、
π ≧ 6∫[0,1/2](1+(x^2)/2)dx = 6(1/2+1/48)
　　= 3.125

0033１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 11:17:10

マクローリン展開は何故か教科書に載ってたんだよな
90年代の高校の教科書の話だから今はどうなのかは知らんが

0034１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 11:19:17

ただ、マクローリン展開とe^x sinx cosxの微分さえ知ってれば
e^ix=cosx+isinxまで後一歩なのにそっちは書いてなかったのが惜しい

0035１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 11:40:49

>e^ix=cosx+isinxまで後一歩なのに

高校でその間を埋めるのは大変だろ
雰囲気で誤魔化せば出来るが

0036１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 11:48:17

>>35
マクローリン展開自体が雰囲気で誤魔化した書き方だったから
大して変わらんのね

0037１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 12:11:19

そうだな
まああと一歩ではないことがわかってるならいい

0038１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 19:13:53

今の高校ってオイラーの公式教えてないのか？

0039１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 20:28:37

教えてた時期があるのか？
まあ勝手に教える教師はいるとしても

0040１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 21:01:37

そうだっけ・・・・
大学入ったら当然知ってるように授業が進んでたような気がしたもんで
何せ大昔の事だから記憶が定かではないが

0041１３２人目の素数さん

2007/03/04(日) 21:20:42

虚数乗があるから普通なら高校では無理だろう

0042１３２人目の素数さん

2007/03/06(火) 03:36:14

>>9
＞8角形の
＞周 C はあきらかに円周より短く

直線の長さと円弧の長さを比較して、何も論じずに
「明らか」と言っちゃっていいのか？
明らかと言いたい気持ちは俺も山々だが、
三角形の二辺の長さが残りの一辺の長さより長いことに比べれば、
自明でないと思うが。
曲線の長さをどう定義するか、ちゃんとした測度を導入するか、
面積から長さを導いたように見せかけて逃げるか、何とかしないと
いけなくないか？

0043１３２人目の素数さん

2007/03/06(火) 05:16:51

１．π^2≧e＾3は成り立つのか示せ。ただし、近似値計算は用いてはいけない。

２．e^iは不定か？

0044１３２人目の素数さん

2007/03/06(火) 15:16:33

色々ケチつけるなら自分で何とかしろよ

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