今は高校範囲になっちまったが不等式

7/9 < 13/x < 6/7
を満たす正の整数ｘを考える。x>0。

7/9 < 13/x より、両辺に9xをかけても大小は変わらないから
7x < 13*9
x< 13*9/7 = 117/7 = 16 + （5/7) でｘは整数としては16以下
（16以下なら 16 + (5/7)よりは小さい）

13/x < 6/7 より、両辺に7ｘをかけても大小は変わらないから
7*13 < 6x
6x > 7*13 (大小関係をそのままにして左右をひっくり返した）
x > 7*13/6 = 91/6 = 15 + (1/6) より、ｘは整数として16以上
　（15では15+(1/6)より大きくない。16以上ならOK）

この二つの条件を満たす正の整数ｘは、唯一x=16のみ。