『nを正の整数とする。(2^n)＋1は15で割り切れないこと示せ』(お茶の水)

これを背理法で↓のように何とかといてみたのですが、無限降下法で解いていきたい場合
どのように変形してあげたらいいでしょうか?

2^n＋1が15で割り切れると仮定すると2^n＋1=3×5×L (Lは自然数)
とかけるので、2^n＋1は3でも5でも割り切れる。
2^n＋1=(3-1)^n＋1
=3^n＋C[n.1]3^(n-1)(-1)＋…＋C[n.n-1]3(-1)^(n-1)＋(-1)^n＋1
したがって2^n＋1を3で割った余りは(-1)^n＋1を3で割った余りと一致する
ここでnが偶数ならば(-1)^n＋1≠0となりnが奇数ならば(-1)^n＋1=0だから
n=2k＋1とすると　(kは整数)
2^n＋1=2*(2k＋1)＋1=2*4^k＋1=2*(5-1)^k＋1
=2{5^n＋C[n.1]5^(n-1)(-1)＋…＋C[n.n-1]5(-1)^(n-1)＋(-1)^n＋1}
つまり2^n＋1を5で割った余りは2*(-1)^k＋1を5でわった余りと一致し
kが整数のとき、2*(-1)^k＋1=-1または3となり、与式は5で割り切れないので矛盾

以上より全てのnについて2^n＋1は15で割り切れない