aとbを互いに素な正の整数とする。
a , 2a , ・・・ , (b-1)a のb-1個の整数をbで割った余りについて
(1)あまりが全て異なることを示せ
(2)あまりは集合として{1,2,・・・,b-1} と一致することを示せ

という問題で(1)はわかるのですが(2)がうまく論証できません。
aをbで割ったあまりをr、商をqとすると、aとbは互いに素なので
a=bq＋r (1≦r<b)でrは集合{1.2.3...b-1}の要素のうちのどれか一つ。
2a=2bq＋2rより2r>bならばさらに2rをbで割れるのでやはり{1.2...b-1}のいずれになり
2r<bならば1<2r≦b-1なる整数でやはり{1.2....b-1}のいずれか
ってことで感覚的にはわかるのですが
うまく証明を書いていくことができません。

どなたかビシッときまる証明を書いていただけないでしょうか
お願いします