>>231
とりあえずzか何か一文字消去してx＋y=1-z=kとおけば
{2＋(1/x)}{2＋(1/y)}=4＋{(1＋2k)/xy}だから
この最小はx=y=(1-z)/2のとき最小で
f(z)=(2＋1/z)(2＋2/(1-z))^2の最小を考えればいいというのが正攻法(?)

(xyz)^(1/3)≦1/3 1/xyz≧27から
与式の左辺展開して≧8＋12・(xyz)^(2/3)*(1/xyz)＋2*27＋27
みたいに評価していってもとける