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【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART114【cos】

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0001１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 01:13:05
夜､明日提出の宿題をやっているとき

(･∀･)やった!あと1問!
・・・・・・！！？
(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ?
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!
･･･てな時に､頼りになる質問スレッドだお(ﾟﾛﾟ)

数学＠2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

前スレ
【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚPART112【cos】 ※part110の重複が未解消のため実質part113
http://science5.2ch.net/test/read.cgi/math/1171787410/

過去ログ
http://makimo.to/cgi-bin/search/search.cgi?q=%8D%82%8DZ%90%B6%82%CC&andor=AND&sf=0&H=&view=table&link2ch=on&shw=2000&D=math
0002１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 01:33:27
少し早いが>>1乙
0003１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 07:16:43
座標空間内の立体Vに含まれる各点P(x,y,z)はy≧0,k+1≧z≧kを満足する。
ここでkは正の定数とする。また、k≦m≦k+1なる任意のmに対して、
平面x+y-2√2z=0と平面z=mとの交線 l に、 V内の点P(x,y,z)から下ろした垂線の足を点Rとし、
点Qを(0,0,m)とすると、QR≦PRが成立している。立体Vの体積を求めよ。

前スレにも書き込んだのですが、解決できてないので、引き続き宜しくお願いします。

Vをz=tで切ると考え、また、mを固定し、P(x,y,t)とおくと
R((2√2+x-y)/2,(2√2-x+y)/2,m)
になりました。あっているかどうか不安ですが…。
それに、ここからQR≦PRという条件を使っても、複雑になるだけで
全く先に進むことが出来ません。どなたか教えてください。

0004１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 09:00:52
>>3
そのＲ違うだろ
0005１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 11:20:39
チンコ
0006にょにょ ◆yxpks8XH5Y 2007/02/22(木) 11:21:44
６といえばロックマン
0007１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 11:38:52
>>6
うざい来んな死ね
0008１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 11:40:16
にょにょｼﾏﾝﾈ
死ね
0009１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 12:31:36
4個のさいころを同時に投げるとき、
出た目がすべて異なる確率を求めよ

分母が6^4=1296だとわかるんですが、
分子を教えてください
お願いします
0010１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 12:34:09
2個以上の連続する自然数の和が64に一致することはないことを示せ。また2個以上の連続する自然数で,その和が60に一致するものをすべて書き出せ。

教えてください。よろしくお願いします。
0011１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 12:45:58
>>9
6*5*4*3

>>10
Σ_[k=s,s+t](k) （s,tは任意の自然数） これ計算すれば良いだけじゃね？
0012１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 12:56:03
>>10
偶数個の連続する自然数の和は奇数なので、和が64だとすると奇数個の連続する自然数。
奇数個の連続する自然数の和は、そのちょうど真ん中の数*個数。この個数は奇数。
64は素因数分解すると2^6で、奇数を因数に持たない。なので、64が連続する自然数の和と一致することはない。

60は素因数分解すると、(2^2)*3*5。
なので、和が60になる連続する自然数の個数は3か5か15個。このうち、15個の場合は、真ん中の数が4となり、
自然数では無理なので除外される。
従って求める答えは、20を中心とした3個と12を中心とした5個の自然数。
0013122007/02/22(木) 12:57:33
いきなり間違ってた。
偶数個の場合は、4の倍数個ならその和は偶数だった。
0014122007/02/22(木) 13:12:47
偶数個でその和が偶数になるのは4の倍数個の場合。
また、偶数個の和をその個数で割った数、つまり平均は、最初の数と最後の数の平均と等しく、
それらはどちらかが偶数でどちらかが奇数なので平均は整数+0.5となる。
64は4^3なので、64までの4の倍数で割ると全て整数。
なので、偶数個の連続する自然数の和が64になることはない。

60は4*3*5なので、4の倍数で割って整数+0.5になるのは4*2=8で割ったとき。
従って、60/8=7.5を中心とする8個の連続した自然数の和は60。
0015122007/02/22(木) 13:13:21
しらみつぶしの方が早かった気がするｗ
0016112007/02/22(木) 13:14:33
>>10
ちょっと解説不足だった
>>12を見て反省
Σ_[k=s,s+t](k)=(1/2)*(2s+t)*(t+1)
(1/2)*(2s+t)*(t+1)=64
(2s+t)*(t+1)=2^7
ｔが奇数のとき(2s+t)*(t+1)は奇数となるので不適、ｔが偶数のとき(2s+t)*(t+1)やはり奇数となるのでやはり不適

(1/2)*(2s+t)*(t+1)=60となるのは
(2s+t)*(t+1)=(2^3)*3*5
ｔが奇数のとき
t+1=8 2s+t=15 →t=7 s=4 →4から11までの和
tが偶数のとき
t+1=3 2s+t=40 →t=2 s=19 →19から21までの和
t+1=5 2s+t=24 →t=4 s=10 →10から14までの和
t+1=15 2s+t=8 →t=14 s=－3 →負の数が出てくるので不適
0017１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 13:16:08
そんなに文章でぐだぐだ説明しなくても・・・・>>11でよかろう・・・
0018１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 13:20:14
>>17
さすがにあれじゃ突き放しすぎだと思ったので…
0019１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 13:20:59
>整数+0.5になるのは4*2=8で割ったとき。
と言い切っているが、他にもあるんでそ

>>11でいいね
0020１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 13:23:16
突き放さず、（間違いを含みながら）懇切丁寧に説明しても
せいぜい虱潰しの方が早いと（他の誰でもない）説明した本人が思う程度の方法じゃないか

>>11だな
0021112007/02/22(木) 13:29:56
むむむ…
＞Σ_[k=s,s+t](k)=(1/2)*(2s+t)*(t+1)
＞(1/2)*(2s+t)*(t+1)=64
＞(2s+t)*(t+1)=2^7
＞ｔが奇数のとき(2s+t)*(t+1)は奇数となるので不適、ｔが偶数のとき(2s+t)*(t+1)やはり奇数となるのでやはり不適
↑これよく見るとおかしいぞ…頭大丈夫か俺

訂正
（2s+t)*(t+1)=2^7
ｔが奇数のとき(2s+t)*(t+1)は偶数＊奇数となり2以外の因数を持つので不適、ｔが偶数のとき(2s+t)*(t+1)やはり偶数＊奇数となりのでやはり2以外の因数を持つので不適
0022１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 13:38:17
整式Ｐ(x)をｘ＋３で割ると余りは４で、そのときの商Ｑ(x)をｘ－２で割ると余りは５である。Ｐ(x)をｘ－２で割ったときの余りを求めよ。

という問題が分かりません
よろしくお願いします
0023１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 13:46:43
Ｐ(x)=(ｘ＋３)Ｑ(x) ＋４
Ｑ(x)=（ｘ－２）R（ｘ） ＋５
↓
Ｐ(x)=(ｘ＋３)｛（ｘ－２）R（ｘ） ＋５｝ ＋４

Ｐ(２)=(２＋３)｛（２－２）R（２） ＋５｝ ＋４=２９
0024１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 13:54:26
>>23 なるほど。そうやって代入すればよかったんですね
ありがとうございます
0025１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:10:51
3θ＝45°＋k×360°

このkが0,1,2である理由がわからない
0026１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:14:23
>>25
問題文から全部書けクズ
0027１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:15:16
突然そんなこと言われても。
0028１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:26:25
>>26
すまない。ごめん

方程式　z^3＝2＋2i ・・・・・・・・・①
を解こう。複素数2＋2iを極形式で表すと
　　2＋2i＝2√2(cos45°＋isin45°)
となる。z＝r(cosθ＋isinθ)とおき、①を満たすr,θ(r>0,0°≦θ＜360°)
を求めると　r＝？　θ＝？，？，255°
となる。したがって，複素数平面上の第２象限にある①の解は
　　－？＋i
である。
0029１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:33:53
0°≦θ＜360°だから
0030１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:38:11
>>29
tnx。すごく単純でした。
0031１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:42:16
ｌ[x,x^2,x^3,x^4],[x^2,x^3,x^4,x],[x^3,x^4,x,x^2],[x^4,x,x^2,x^3]ｌ=0
xに関する代数方程式として上の行列式を解けという問題なんですが、この行列式を計算したところx^16-3x^12+3x^8-x^4=0となったんですが、この高次方程式はどうやって解けばいいんでしょうか？
0032１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:46:18
>>30
> tnx
単なるタイプミスだとは思うけど。
0033１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:50:06
>>32
タイプミス
0034１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:52:32
>>31
x^4=t>=0
とおいて、tで括って因数定理
0035１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 14:59:04
>>31
x^16-3x^12+3x^8-x^4=0
x^4=tとおけば
x^16-3x^12+3x^8-x^4=t^4-3t^3+3t^2-t=t(t^3-3t^2+3t-1)=t(t-1)^3
x^4=tに戻して
t(t-1)^3=(x^4)(x^4 -1)^3=(x^4)(x-1)(x+1)(x^2 +1)=0
超簡単じゃまいか…
0036１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:00:16
関数f(x)に対し、等式∫[0,π]xf(sinx)dx＝π/2*∫[0,π]f(sinx)dxを証明したいんですけど、
π－x＝tとおかずに証明できないですか？
0037１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:02:49
>>34
出来ました、x=0,1,-1になったのですが念のため検算お願いできますか？
0038１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:02:49
証明できない。
間違ってるから。
0039１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:05:28
>>37
検算は自分でやれ

ここは答え合わせスレじゃない
答えが欲しければ答え付きの本買うか、計算機で計算しろ
0040１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:06:37
>>36
　なんでおきたくないかをまず説明してもらおうか。
0041１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:10:07
sinθ+cosθ=√2の時,
sinθcosθの値を求めよ。という問題がわかりません。どなたかお答えしてくださればうれしいです。
0042１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:11:39
両辺2乗
0043１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:12:19
>>38
え、でも置換で解答は証明してるんです

>>40
なかなかπ－x＝tとおくことに気付かないと思うんです
置換のコツとかないですか？
0044１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:14:28
もう知ってるから気づけるだろ
数こなせば脳か手が覚える
0045１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:17:15
>>41
sin^2θ+cos^2θ=1　だから　sinθ+cosθ＝√２　を２乗して
sin^2θ+cos^2θ +2sinθcosθ=2　より2sinθcosθ＝１　から
sinθcosθ＝１/2
0046１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:18:25
>>43
sin（π-θ）=sinθ
だから結構気付きやすいよ
0047１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:18:53
>>43
普通に気づくだろ
周期性
0048１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:19:08
>>42
ありがとうございます
0049１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:19:30
>>41
(sinθ＋cosθ)^2＝sin^2θ＋2sinθcosθ＋cos^2θ＝(√2)^2＝2
sin^θ＋cos^θ＝1(公式)
よって、１＋2sinθcosθ＝2
∴sinθcosθ＝1/2
0050１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:23:08
>>43
　気持ちはわかる。でもお前がいってるのは、二項間漸化式を解くのに
等比数列に帰着させないで解く方法ありませんか、だって気づかないも
ん、っていってるのと同じ。数学には知らなきゃできるわけのないこと
は山ほどあるよ。
0051１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:25:39
続けて申し訳ないですけど,
>>41の時,sin4乗θ+cos4乗θの値はいくらですか？
0052１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:30:07
忘れた。ヘルプ

(z^3－2)^2＝－4　　　　　∴　　　　　z^3＝2±2i

この過程をｋｗｓｋ
0053１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:32:22
>>52
　z^3-2＝±2i
0054１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:34:02
２つの曲線y=x^3､y=ｰx^2+2xで囲まれた図形の面積を求めよ
積分で求める問題です。
よろしくお願いしますm(__)m
0055１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:34:36
>>51
sin^4θ＋cos^4θ＝(sin^2θ＋cos^2θ)^2－2sin^2θcos^2θ
　　　　　　　＝1－2(1/2)＾2
＝1/2
0056１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:40:52
>>54
　交点を求めて上-下を積分。
0057１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:43:11
>>56
それは分かったんですけど、交点が求められないんです…
0058１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:46:01
>>57
　二つの式の右辺を=で結ぶ。xでくくったらあとは2次方程式だよ。
0059１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:46:39
>>57
複素数のところを勉強汁
0060１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:46:53
>>57
積分の前にやり直さなければならないことが沢山あるな
0061１３２人目の素数さん 2007/02/22(木) 15:48:53
A,B,Cの3つの文字から、各文字複数回使うことを許して5つの文字からなる文字列を
作るときの順列は全部で何通りあるか。ただし、A,B,Cの文字のうち一度も使用しな
い文字はないものとする。

どのように解けばいいのでしょうか？
よろしくお願いします。
0062１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:49:30
>>61
　一度も使用しない文字があってもいいときの解き方はわかる？
0063１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:52:11
>>57です。
交点の求め方すっかり忘れてました…！
ありがとうございます、解けました。てか自分バカですねorz
0064１３２人目の素数さん 2007/02/22(木) 15:54:05
>>62
単純に、3^5通りでしょうか？
0065１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 15:59:01
>>64
　そうそう。そこからA, B, Cのうち2文字しか使わない（ちょうど2文字だけを使う）ものと、1文字しか使わないものを引けばよい。
0066１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 16:03:35
携帯から失礼します

‐3<x<0のとき、3√a^2‐4a+4 ‐2√a^2+6a+9 +4√a^2 を簡単にせよ。
という問題なんですがよろしければ解いていただけませんか？
0067１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 16:07:39
>>66
-3<a<0じゃね？
0068１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 16:12:32
>>66
　√(a^2)=|a|であることに注意する。
　テンプレ読め。以上。
0069１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 16:13:04
四則演算に√って入りますか？
0070１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 16:14:12
>>69
　四則の「四」って何だと思う？
0071１３２人目の素数さん 2007/02/22(木) 16:16:55
>>65
あ、そうか。
分かりました。なんか難しく考えてましたorz

あと連続質問で恐縮ですが、例えば

A,B,C,D,Eの5つの文字から、各文字複数回使うことを許して3つの文字からなる文字列
を作るときの順列は全部で何通りあるか。

という問題の場合はどのように考えればよいのでしょうか？
こういう似たような出題をされるといつも混乱してしまって困ってます。

0072１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 16:26:15
>>71
これは>>61のときのような但し書きがないんで

重複を許して、一度も使わない文字があってもいい
5^3
0073１３２人目の素数さん 2007/02/22(木) 16:35:02
>>72
すみません。71書いたあとにすぐ気が付きました。
なんか完全に問題の表現に振り回されてますね、自分orz
基本概念の理解がまだまだ表面的であることを痛感しました。

どうもありがとうございました。
0074１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 17:35:26
y=(x^2-1)^2/(x^2+1)^2　を微分せよ。

対数微分で答えが　8x(x^2-1)/(x^2+1)^3　になりました。
あっているでしょうか？
0075１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 17:42:37
>>74
y'={4x(x^2-1)(x^2+1)^2-4x(x^2+1)(x^2-1)^2}/(x^2+1)^4
=4x(x^2-1){(x^2+1)-(x^2-1)}/(x^2+1)^3
=8x(x^2-1)/(x^2+1)^3
0076１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 18:11:40
(x-1=0)＝(y-1=0)⇒x=yの真偽は？？
0077１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 18:15:46
これはひどい
0078１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 18:18:58
>>74
っ【商の導関数】
0079432007/02/22(木) 18:28:42
>>44>>46-47>>50
そうですね、数あたらなきゃ駄目ですね
前もこんな問題あった気もしますし
失礼しました
0080１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 18:46:21
aとbを互いに素な正の整数とする。
a , 2a , ・・・ , (b-1)a のb-1個の整数をbで割った余りについて
(1)あまりが全て異なることを示せ
(2)あまりは集合として{1,2,・・・,b-1} と一致することを示せ

という問題で(1)はわかるのですが(2)がうまく論証できません。
aをbで割ったあまりをr、商をqとすると、aとbは互いに素なので
a=bq＋r (1≦r<b)でrは集合{1.2.3...b-1}の要素のうちのどれか一つ。
2a=2bq＋2rより2r>bならばさらに2rをbで割れるのでやはり{1.2...b-1}のいずれになり
2r<bならば1<2r≦b-1なる整数でやはり{1.2....b-1}のいずれか
ってことで感覚的にはわかるのですが
うまく証明を書いていくことができません。

どなたかビシッときまる証明を書いていただけないでしょうか
お願いします
0081１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 18:57:55
>80
流し読みしたから違うかもしれんが、余りって正の整数で、しかも「bで割った」なんだから 0 <= r < b じゃん？
a, 2a, ..., (b-1)a が全部 b で割り切れなくて、しかも余りがおのおので異なるんなら{1, 2, ..., b-1}になるに決まってるじゃない
0082１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 19:07:38
0､1､2､3､4､5の6個の数字の中から4個を選んで4けたの整数を作るとき、次の各問に答えよ
･10の倍数は何個できるか
･偶数は何個できるか

答えは順に..60､156

この系統の問題は説明聞いてもよくﾜｶﾗﾝ
誰か詳しい説明求ﾑｯ!
0083１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 19:21:22
>>82
10の倍数となるのは1の位が0のとき

偶数となるのは1の位が偶数のとき
1の位が0でないときは、千の位が0にならないことに注意して数え上げる
0084１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 19:29:51
>>80
(2)(1)および余りが0以上b-1以下の整数であることから自明
0085１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 19:57:46
>>83
THX!理解出来ました
0086１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 20:57:14
すみません、質問なんですが
①テニス部員30人から部長、副部長を1人ずつ選ぶ方法は何通りあるか。
②10人の生徒から図書委員3人を選ぶ。何通りあるか。

①はPを使って②はCを使いますよね？この2つの問題の違いが全く分かりません。
一体、どうなっていればPを使うのか？Cを使うのか？判別方法を教えてください。
どうか、宜しくお願いいたしますm(__)m
0087１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 20:59:16
部長、副部長には区別がある
図書委員3人には区別がない

教科書の最初から読み直せ
0088１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 21:03:19
わかんねーならもっと簡単なところから始めろよ

A,Bがいる
部長と副部長を選ぶ…部長A,副部長Bかその逆の2通り　2!
図書委員2人選ぶ…A,Bともに図書委員の1通り　2C2

これをA,B,Cの3人にしたらどうなるかとかさ
0089１３２人目の素数さん 2007/02/22(木) 21:11:38
>>86
何度も聞いた答えだとは思うけど、取り出したり並べ替えたり結果に対して順序を考慮するか
しないかの違い。もっと厳密な判別方法もあるにはあるのだが、それを知ったが為にかえって
混乱して確率(場合の数)の問題が解けなくなってしまう(遠回りに考えるクセがついてしまう)
可能性があるので、知らないほうがいいと思う。
0090１３２人目の素数さん 2007/02/22(木) 21:18:03
>>86
あまり厳密に考え過ぎると泥沼にはまるよ
0091１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 21:42:30
自然数xの約数の個数をy個とするとき、yをxの式で表せ。

お願いします。
0092菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU 2007/02/22(木) 21:46:16
>>91
むり。
0093菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU 2007/02/22(木) 21:46:59
自然数xの素因数分解した形がわからないと約数の個数はわからない。
0094１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 21:59:44
a>0,b>0,c/a<d/bのとき、b/a<(c+d)/(a+b)<1を証明せよ。

お願いします。
0095１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 22:16:39
>>94
小中学生スレへ池。
0096１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 22:30:55
お願いします
二つ以上の連続する自然数の和は、2^k(kは自然数)の形にはならないことを証明せよ
背理法を用いるそうなのですがどのようにすれば良いか分かりません。
0097１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 22:31:35
行列の単元で質問があります。

書きにくいので、画像ファイルにいたしました。
http://sakuratan.ddo.jp/imgboard/img-box/img20070222222445.jpg

後半部分をどなたか教えてください。
0098１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 22:34:26
>>96
二つ以上の連続する自然数の和が、2^k(kは自然数)の形になったとせよ
したがって、ある自然数Nが存在してN+(N+1)=2^kと書ける
すなわち、2N+1=2^k
左辺は奇数、右辺は偶数
奇数と偶数が等しいことになる
矛盾
0099１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 22:35:24
点（ｍ，ｎ）とでも置いて、実際に比較すればいいんでは
0100１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 22:36:53
>>97　点（ｍ，ｎ）とでも置いて、実際に比較すればいいんでは

安価忘れたスマン
0101１３２人目の素数さん2007/02/22(木) 22:37:36
2つ「以上」だろ
連続する自然数をm,m+1,m+2,・・・,m+nとすると
和は(2m+n)(n+1)/2
nをが偶数でも奇数でも3以上の奇数を因数に含む
よって矛盾
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