水のこぼれは無視した場合、
「AB+BC+CD=30の四角形ABCDの中で面積が最大の奴を求めよ」という問題になる
AB=BC=CDが成り立たない時はBだけを動かすかCだけを動かすかして更に四角形を大きく出来る。
ABCDの面積SをA,B,C,Dの位置で表す関数S(A,B,C,D)は連続であるから
条件の集合のコンパクト性より最大値を持つ。そして最大値を取る時は上記よりAB=BC=CDとなる。
次に∠ABD=∠ACD=90度でない時はAだけを動かすかDだけを動かすかして
AB=BC=CDを保ったまま四角形を大きく出来る

これよりAB=BC=CDで∠ABD=∠ACD=90度の時に四角形は最大になる事が分かる
偏微分使わなくて済むね