>>587
もう解決したかな？
ベクトルを用いた解法しか思いつかなかったけど良ければどーぞ

↑AP=↑AG+↑GP,↑BP=↑BG+↑GP,↑CP=↑CG+↑GP として、|↑AP|^2,|↑BP|^2,|↑CP|^2 をそれぞれ求める。
|↑AP|^2+|↑BP|^2+|↑CP|^2 = |↑AG|^2+|↑BG|^2+|↑CG|^2+3|↑GP|^2+2*↑GP･(↑AG+↑BG+↑CG)
となるが、↑AG+↑BG+↑CG=↑0 より
結局、|↑AP|^2+|↑BP|^2+|↑CP|^2=|↑AG|^2+|↑BG|^2+|↑CG|^2+3|↑GP|^2