>>422
f(-x)=-f(x)
x>0 ⇔ f(x)>0 だから最大値をとるのは x が正のとき

g(x):=e^x-e^(-x)
h(x):=e^x+e^(-x)
g' = h
h' = g

f'(x)=(g/h^3)'=(g'*h^3-g*3(h^2)h')/h^6=(h^2-3*g^2)/h^4

h^2-3*g^2=(e^(2x)+2+e^(-2x))-3(e^(2x)-2+e^(-2x))=2(4-e^(2x)-e^(-2x))

f'(x)=0 なる x を求める
4-e^(2x)-e^(-2x)=0
(e^(2x))^2-4e^(2x)+1=0
e^(2x)=2±√3
x=ln(√(2±√3))

f(x) は x=x*:=(1/2)ln(2+√3) のとき最大値をとる
ここで g(x)=(1/e^(x))(e^(2x)-1), h(x)=(1/e^(x))(e^(2x)+1) として最大値を計算すると

f(x*)
=g(x*)/(h(x*))^3
=(e^(2x*))(e^(2x*)-1)/((e^(2x*)+1)^3)
=(2+√3)(1+√3)/((3+√3)^3)