>>300
どういう証明でも良いなら
「A, B は互いに素である」⇔ 「Ax+By=1 となる整数x.yが存在する」
を利用すればどう?

今、aとbが互いに素なので
ax＋by=1なる整数x.yが存在する。
ここでx=-n、y=m＋nとなる整数m.nをとると
ax＋by=1⇔-an＋bm＋bn=1⇔bm＋(b-a)n=1
n.mは整数なので、b.b-aは互いに素である