VをK(Kは体)ベクトル空間とする。VからVへの線形写像全体の集合からk個の元
P1,…,Pkを取る。これらが以下の性質を満たす。
(1)PiPj=PjPi=0(i≠j)
(2)P1+…+Pk=idV
このとき以下のことを示せ。
(a)PiPi=Pi
(b)Wi=PiVとした時にV=W1・+W2・+…Wk(・+は直和の記号です)

理論としては分かるのですが解答をどのように書けばいいのかがわかりません。

自分は以下のように書きましたがどうでしょうか？
(a)
(2)の性質よりP1+…+Pk=idV
∀x∈Vに対して(P1+…+Pk)(x)=(x)
この時左からPiを作用させるとPi(P1+…+Pk)(x)=Pi(x)
(1)の性質よりi≠jのときPiPj=0よりPiPi(x)=Pi(x)　よってPiPi=Pi

(b)
∀x∈V⇒(idV)(x)=(P1+…+Pk)(x)=P1(x)+…+Pk(x)∈W1+W2+…+Wk
次にWi∩Wj={0}を示す。
∀x∈Wi∩Wjを取るとWi=PiVより
∃y,z∈V s.t. Pi(y)=Pj(z)=x
このとき左からPiを作用させてPi(x)=PiPi(y)=PiPj(z)=Pi(y)=0
よってx=0