すみませんが、もうひとつ質問させてください。

問題. ある確率変数Xの平均値はμ、Yの平均値は0のときXとYのデータを使ってμを推定することを考える。
推定量としてはα, β, γをある定数としてαX+βY+γというかたちのものを考える。
このとき、XとYの間の相関係数ρ、Xの分散(σ_{X})^2 、Yの分散(σ_{Y})^2はすべて既知だとする。
αX+βY+γというかたちのμの不偏推定量の中で、最小分散をもつものを求めよ。

こういう問題なのですが、わたしは以下のように考えて解いたのですが、最後がγ=μとなってしまうのに違和感を感じます。
たしかに、推定量がγであれば、その分散は0となり最小にはなるのですが、でも、何かがおかしいような気がします。
質問多くてすみませんが、どなたかご教授お願いします。

E(・)：平均　　　V(・)：分散　　Cov(・,・)：共分散　　η:=αX+βY+γ　とする。
ηは不偏推定量なので、
μ=E(η)=αE(X)+βE(Y)+γ=αμ+γ　　∴μ=αμ+γ…(＊)
F(α,β,γ):= μα+γ－μ
V(η)=(α^2)V(X)+(β^2)V(Y)+2αβCov(X, Y)
=(α^2) (σ_{X})^2+(β^2)(σ_{Y})^2+2αβρ(σ_{X})(σ_{Y})=:G(α,β,γ)
H(α,β,γ,λ):= G(α,β,γ)－λF(α,β,γ)
∂F /∂α=μ　　∂F /∂β=0　　∂F /∂γ=1　　より、
F(α,β,γ)=0を満たす任意のα, β, γに対し、(∂F /∂α, ∂F /∂β, ∂F /∂γ)≠(0, 0, 0)
Lagrangeの未定乗数法により、　∃λ∈R　s.t.
①∂H /∂α=∂G /∂α－λ(∂F /∂α)=2((σ_{X})^2)α+2ρ(σ_{X})(σ_{Y})β－λμ=0
②∂H /∂β=∂G /∂β－λ(∂F /∂β)=2((σ_{y})^2)β+2ρ(σ_{X})(σ_{Y})α=0
③∂H /∂γ=λ=0
③より、　λ=0
①, ②より、　①’((σ_{X})^2)α+ρ(σ_{X})(σ_{Y})β=0
　　　　　　　②’ρ(σ_{X})(σ_{Y})α+((σ_{y})^2)β=0
①’, ②’を満たすα, βが存在しなければならないので、
((σ_{X})^2) ((σ_{y})^2)－ρ(σ_{X})(σ_{Y})ρ(σ_{X})(σ_{Y})
=((σ_{X})^2) ((σ_{y})^2)(1－ρ^2)≠0　　∴σ_{X}≠0, σ_{Y}≠0, ρ≠±1
①’, ②’を解くと、　α=β=0
また、(＊)より、　γ=μ　Q.E.D