>>18

１．
（ａ）　　　　一行目　　二行目　　三行目　　四行目
　　　行列Ａ：００１０、０００１、１００１、０１１０
　行列Ａ＾２：１００１、０１１０、０１１０、１００１
　行列Ａ＾３：０１１０、１００１、１００１、０１１０
　行列Ａ＾４：１００１、０１１０、０１１０、１００１
（ｂ）行列Ａｋ：１１１１、１１１１、１１１１、１１１１
（ｃ）行列Ａｋのi,j成分はグラフのノードiからノードｊへ高々４ステップで移動可能かどうかを表している。
各行の成分は全て１なのでどの２個のノードも連結、すなわちこのグラフは連結である。

２．ある頂点からグラフのすべての辺をちょうど一回だけ通過して元の頂点に戻ってくる路のこと。

３．ある頂点からグラフのすべての頂点をちょうど一回だけ通過して元の頂点に戻ってくる路のこと。

注。ここで路とは隣接する頂点の列で定まる経路のこと。

これは常識の範囲の問題ですな。
ちなみに与えられたグラフがオイラー閉路を持つかどうかを判定するのは容易。
しかし、ハミルトン閉路をもつかどうかを判定する問題はNP完全と呼ばれるクラスに属する問題で解くのが難しい。