ルベーグ積分の導入のし方には２通りあって、

　[1] 測度論による　　　　　　　 可測集合⇒可測関数⇒一般の積分
　[2] 階段関数の近似による　　階段関数⇒ルベーグ積分⇒可測集合⇒可測関数⇒一般の積分

ルベーグが学位論文で展開した測度論による本が圧倒的に多く、それは外測度を使用する。
しかし早くルベーグ積分に到達できるのは階段関数の近似による方法。
その辺を理解するためには、リース流で記述されているリース・ナジーがお勧め。