丸山・ギルサノフの定理とは？（その１）

「考察対象の確率過程がブラウン運動になるのは、どんな確率測度を採用した時か？」という問題が残っていた。
ブラウン運動は確率空間上の確率測度に依存した概念である。
考察対象の確率過程Ｂｔの基礎になる確率空間の確率測度Ｐを、別な具合のいい確率測度Ｑに変更出来ればよい。
そのためには変換公式に必要な非負な可測函数（確率密度函数）ｆ（ω）が存在するための必要条件が知りたい。
その条件が絶対連続性（ラドン・ニコディムの定理）であった。
ｆ（ω）はＱのＰによるラドン・ニコディム微分である。
以上から考察対象の確率過程を変換して連続な適合過程Ｂｔ〜を考えればブラウン運動にできるのである。

さらにラドン・ニコディム微分を明示的に求めるために指数型マルチンゲールを考える。
指数型マルチンゲールがマルチンゲールになる十分条件がノヴィコフ条件である。
連続な適合過程Ｂｔ〜に指数型マルチンゲールＭｔによる重さをつけた確率過程Ｙｔもまたマルチンゲールである。
指数型マルチンゲールＭｔを用いて、考察対象の確率過程の基礎になる確率空間の確率測度ＰからＱ_Tへと
ギルサノフ変換すると、ラドン・ニコディム微分を明示的に求めることが可能になる（Cameron-Martinの公式）。

これをまとめると、「考察対象の確率過程の基礎になる確率空間の確率測度ＰをＱ_Tへと変更した
連続な適合過程Ｂｔ〜がブラウン運動になる」という「丸山・ギルサノフの定理」が言えるようになる。
これで最初の設問に答えることが出来たわけである。
以上のような手法はドリフトの理論（ずれの変換）とよばれる。