Riesz流ルベーグ積分入門

ルベーグ積分を考えるための自然な関数のクラスとして「可測函数」というものを考えよう。
ちょうどリーマン積分における「連続函数」に対応するものである。
函数解析におけるRieszの表現定理というものを認めると、
可測函数という概念は、有限「個」の値のみをとる函数、すなわち階段函数の極限として導入できる。
＃ここでの極限は一様収束。
階段函数の積分は自然に定義されている。
ルベーグ積分は、可測函数の積分であるから、階段函数列の極限として定義できることになる。

ルベーグ積分が定義できると、
極限と積分との交換（ルベーグの収束定理）、積分順序の交換（フビニの定理）などの
解析学の重要な定理が、リーマン積分による場合よりも、ずっと簡便なものとしてとらえられる。

＃難しい概念を「函数解析におけるRieszの表現定理というものを認める」という一文に封じ込めているのが罠ｗ