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ルベーグ積分の諸定理を利用しながらリーマン積分を拡張するのと同様に、
ルベーグ積分の理論が成立した後、ダンジョワ積分などその拡張がいくつか発見さています。
しかしそれらは、少なくとも、大学における教育対象とはなっていません。
私の知る限りでは、次の４種類（ ８ 個）があります：

・Riemann 積分
・Lebesgue 積分＝McShane 積分
・狭義 Denjoy 積分（A.Denjoy[1912]、N.N.Luzin[1912]）＝Perron 積分[1914]＝Henstock-Kurzweil 積分[1957]
・広義 Denjoy 積分[1916]＝Khintchine 積分[1916]

これら 8 個は、定義はすべて異なりますが、横に並んでいるものはほとんど同等で、
下に行くほど広い意味での積分になっていることが知られています。

積分論の概念的関係を大雑把にいうと、
（Riemann 積分）⊆（Lebesgue 積分）⊆（狭義 Denjoy 積分）⊆（広義 Denjoy 積分）。

他にDanniel 積分やBurkill 積分というのもあるようですが良く知りません。

HenstockとKurzweilにより、絶対可積性を持たない積分の研究に対して
Riemann型積分の方法が提唱されました。

この積分は、Riemann和に用いられるpartitionsの族の違いにより、
大きく2つの積分に分かれます。
一方は Henstock-Kurzweil 積分であり、もう一方はMcShane積分です。

Henstock-Kurzweil 積分はMcShane 積分を含んでいます。
McShane 積分は Lebesgue 積分と同値であることが知られています。
実数値関数に対しては、 Henstock-Kurzweil 積分は狭義 Denjoy 積分と同値です。