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|z|=r <1 のとき
　| z^n | = r^n,
　| 1 + z^(2n) | ≧ 1 - r^(2n) ≧ 1 - r^2,
　| 与式 | ≦ 農n r^n /(1-r^2) = r/{(1-r)(1-r^2)}　　にて収束。

|z|=r >1 のときも 1/z = z' とおけば 上記に帰着するので収束。

|z|=1 のとき z=e^(ix) とおく。
　z^n = e^(inx),
　z^n / {1+ z^(2n)} = 1/{z^(-n) + z^n} = 1/{2cos(nx)},
　xが有理数なら発散。
　xが無理数なら… ?