>>16
一般に、3 点 P, Q, R に対して |P - Q| = |Q - R| = |R - P| = 1 ならば

1 = |P - Q|^2
= |(P - R) - (Q - R)|^2
= 2 - 2(P - R, Q - R)

⇒ (P - R, Q - R) = 1/2 … (1)
(⇒ ∠PRQ = π/3)

となる。点 P[i] (1 ≦ i ≦ n+1) が |P[i] - P[j]| = 1 (1 ≦ i, j ≦ n+1)
を満たしているとする。性質(1)から、ベクトル v[i] = P[i] - P[n+1]
(1 ≦ i ≦ n) に対して

i = j ⇒ (v[i], v[j]) = 1, i ≠ j ⇒ (v[i], v[j]) = 1/2

が成り立つ。今、

α[1] v[1] + α[2] v[2] + ... + α[n] v[n] = o … (2)

と置いたとき、式(2)の両辺と v[i] (1 ≦ i ≦ n) との内積をとれば、
α[j] に関する連立一次方程式

α[1] + ... + α[i-1] + 2 α[i] + α[i+1] + ... + α[n] = 0

が得られる。この係数行列は、対角成分が 2 でその他の成分が 1 であり、
正則となる(多分)。よって、すべての α[j] は 0 となり、{v[i]} は
一次独立となる。ゆえに、その条件を満たす n+1 個の点を含むためには
n 次元必要である//