問題というよりふと思ったことなんですが、

ｎ次元において任意の点p（p1, p2, p3 ...）を複数取った場合、
その点それぞれすべてが別の点と等間隔で配置されるような p は
n + 1 より多く配置できないのではないかと思いました。

たとえば n = 1 の直線上では 任意の2点まで、
n = 2 の平面状では正三角形の3点、
n = 3 では正三角錐の4点といった具合に。

なんとなく頭で想像してそういうものだろうと思ったのですが、
これを証明することって簡単にできるものでしょうか？