この問題を出した友人に(1)の答えだけ確認をとったところ、以下のような解答が送られてきました。

xについての二次方程式

x＾2 + kx + k＾2 + 3k - 9 = 0 ・・・・・・[1]

が実数解を持つとき、[1]の解をα, βとすると、α, βはともに実数で解と係数の関係より、

α + β = -k ・・・・・・[2]

よってkは実数である。すると、[1]を満たすxが実数のとき、実数係数のkの二次方程式

k＾2 + (x + 3)k + x＾2 - 9 = 0 ・・・・・・[3]

の解が実数であることから、[3]の判別式

(x + 3)＾2 - 4(x＾2 - 9) ≧ 0
(x + 3){(x + 3) - 4(x - 3)} ≧ 0
3(x + 3)(x - 5) ≦ 0

よって、-3 ≦ x ≦ 5・・・(答)