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e、自然対数の底

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0001１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 18:01:42
πと並ぶ無理数のking
高校で突然習う、この不思議な数について
0002１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 18:10:46
iも
0003１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 18:29:28
>>1
何について議論したいのかもっと書いて
0004１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 18:32:20
私を呼んだかとか…脳を読むヤツをつぶせ…ってレスで埋まりそうなヨカン
0005にょにょ ◆yxpks8XH5Y 2007/01/06(土) 18:41:23
∫[-∞,∞](sin(x)/x)dx / ∫[-∞,∞](cos(x)/(x^2+1))dx = e
0006KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2007/01/06(土) 19:09:14
talk:>>1 私を呼んでないか？
0007１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 19:30:26
>>6
自然対数の底eの定義言ってください
lim[h→0](1+h)^(1/h)とかlim[n→∞](1+(1/n))^nとか絶対に言わないでください
0008１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 19:33:15
なんで？
0009１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 20:18:17
他に何で定義しろっていうんだ？
0010１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 20:24:39
まあ微分方程式や積分を利用した定義は出来るけど
ただなぜそこの定義を言ってはいけないのかはようわからんわな
0011１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 20:45:04
y´=y
0012１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 21:36:23
y=0
0013Euler の公式2007/01/07(日) 00:05:36

最初に e の定義から始めることにしましょう ：

【 自然対数の底 e の定義 】
指数関数 y=a^x において，
y 軸との交点 (0,1) での接線の傾きが 1 である指数関数を y=e^x と定義します。
これで，自然対数の底 e の値を定めます。

>>1-2

不思議な数字の e および i が入ってくる非常に有名な公式を挙げておきましょうね ：

【 Euler の公式 】

　　　　　e^(ix) = cosx ＋ i sinx
0014１３２人目の素数さん2007/01/07(日) 11:22:09
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ……
0015１３２人目の素数さん2007/01/07(日) 11:28:51
King禁止
0016１３２人目の素数さん2007/01/07(日) 11:54:07
>>7
(a^x)'=a^xをみたすaをeと定義する
もしくは(log[a]x)'=1/xをみたすaをeと定義する
0017１３２人目の素数さん2007/01/08(月) 14:41:11
e^x について、テイラー展開より高速な近似計算方法ってある？
0018１３２人目の素数さん2007/01/08(月) 16:38:19
指数関数の逆数みたいに各項が小さくなっていくやつがそうかな・・・

・・・え？
0019KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2007/01/09(火) 12:01:08
talk:>>15 何やってんだよ？
0020１３２人目の素数さん2007/01/09(火) 12:22:27
>>17
ガウスの算術幾何平均法で楕円積分が計算できて
その特殊例としてlog(x)が計算できるので、
log(x)の逆関数をニュートン反復で計算する方法が
いまのところもっとも高速。

テイラー展開はN桁求めるのに、O(N)回の加減乗算が必要なのに対して
この方法はO(log(N))回の演算量ですむ。
0021１３２人目の素数さん2007/01/09(火) 12:58:17
>>20
すげぇ！標準ライブラリの仕様ってその方法になってる？
0022202007/01/09(火) 16:58:34
この方法は数百万桁以上の超高精度向きで、普通の精度ではオーバーヘッドが
大きいため、この方法は使われていません。

普通の精度の場合は、加法定理により区間を分けて、多項式近似をします。
通常は16桁の場合は12次式程度の多項式で近似できますが
区間を分けてxの値を小さくすればより小さな次数の多項式で計算できます。

極端な場合、某社のコンパイラは、区間を数百等分して３次関数で近似して、
指数関数や三角関数を数クロックで計算するという曲芸的な方法をとっています
(もちろんIntel系のCPUの組み込み関数より高速)。
0023１３２人目の素数さん2007/01/09(火) 18:12:04
>>22
なるほど。精度にこだわるマニア向きってわけか。
しかし、区間数百等分 3 次ってロマンを感じないな。
0024１３２人目の素数さん2007/01/09(火) 19:20:02
何をおっしゃっているのか僕には分かりません
0025ぴか z (．ﾟ−ﾟ) ◆pikaMw.D1M 2007/01/09(火) 19:35:24
昔kingの日記でネピア数について書かれたものがあった
0026ぴか z (．ﾟ−ﾟ) ◆pikaMw.D1M 2007/01/09(火) 19:36:05
というかπなら中学ぐらいで習うのでは？
0027KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2007/01/10(水) 09:23:22
nが0以上の整数ならば、a(2n,0)=2n+2, a(2n+1,0)=1として、
さらにmが0以上n未満の整数ならばa(n,m+1)=a(n-m-1,0)+1/a(n,m)とする。
a(2n+2,2n+2)>a(2n,2n), a(2n+3,2n+3)<a(2n+1,2n+1), lim_{n→∞}(a(n,n))はネピアの数であることを証明せよ。
0028KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2007/01/10(水) 09:35:37
nが0以上の整数ならば、a(0,0)=2,a(3n+1,0)=1,a(3n+2,0)=2n+2,a(3n+3)=1として、
さらにmが0以上n未満の整数ならばa(n,m+1)=a(n-m-1,0)+1/(a(n,m))とする。
lim_{n→∞}(a(n,n))はネピアの数であることを証明せよ。
0029KingOfUniverse ◆667la1PjK2 2007/01/10(水) 09:41:39
[>>27]のは謎の値に収束する。
0030１３２人目の素数さん2007/02/05(月) 17:15:25
102
0031１３２人目の素数さん2007/03/11(日) 20:38:26
441
0032１３２人目の素数さん2007/06/25(月) 07:44:21
664
0033１３２人目の素数さん2007/08/13(月) 00:50:03
対数関数の逆関数が指数関数っていわれても、どこが「逆」なのかわかんないんだけど。
同じく自然数aの逆数が1/aっていわれても、どこが「逆」なのかわかんないんだけど。
そもそも負の数に負の数を掛けるとなんで正の数になるのかわかんないんだけど。
「定義」だからしょうがないってやつか？
0034１３２人目の素数さん2007/08/13(月) 00:55:25
俺みたいに数学赤点の椰子は、脳の制御回路が一次元的物理量しか扱えない仕様になっているんだと理解している。
0035１３２人目の素数さん2007/08/13(月) 00:55:32
>>33 逆関数の定義を知ってて言ってるのか？
0036β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/13(月) 01:02:06
(e)'=eらしいが、
(1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ……)'
=(1/1)'+(1/1!)'…
=0+0+…
=0だと思う事もある。
0037１３２人目の素数さん2007/08/13(月) 01:21:13
βさんの相変わらず素敵なレスにホレボレします（棒
0038β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/13(月) 01:24:52
棒読みであるところに、味が出てるな。
0039１３２人目の素数さん2007/08/13(月) 23:17:19
確かに(e)'=0だな
0040１３２人目の素数さん2007/08/14(火) 21:25:30
(e)'=0 (ex)'=ex
であってますか？（もちＸでビブン）
0041β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/15(水) 00:38:27
>>40
どっちかつったら(ex)'=eじゃね？
0042１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 01:50:55
>>20-22
ノイマン型コンピューターと量子コンピューターの如し!!
0043１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 01:55:04
ネタか…
(e)'=0
(ex)'=x
(e^x)'=e^x
0044１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 01:58:32
(ex)'=eだろ
0045１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 02:04:43
>>40
頭が回らなくなったんだろうか。
eも一定数なので
(x^n)'=n(x^(n-1))
(a(x^n))'=an(x^(n-1))
(n:定数)
の例に漏れず
(e(x^n))=en(x^(n-1))

eに関する微分公式と言えばやはり
e^x=e^x
だろ
0046452007/08/15(水) 02:08:25
こんな時間に他者重複レスとは

>>20
公式レスプリーズ
0047１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 03:02:03
>>44
うわ間違えた
0048１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 04:22:27
eが絡んでる微分・積分について、例題と解放がたくさんのってるオススメの参考書ってない？
0049１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 05:24:01
岩波の数学公式
0050１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 05:31:57
E女やA女が絡んでる……


ごめん何でもない。
0051β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/15(水) 10:45:37
(e)'=0
(ex)'=x

↑はeを定数とみなすときのみだよな？
実際はe'=e
0052１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 11:53:45
eは定数じゃないのか
0053１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 12:13:01
e=2.71828183
0054１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 14:08:13
>>51
愚か者。物理板でも白い目で見られてからに。

先ず最初にeが自然対数の底とし
xの微分の話である事を断っておく。

自ずと然り、eは定数で近似値は>>53。

(a^x)'=(log a)^x (aは定数 xは変数)
然し、(e^a)'=0

特にa=eならば
(a^x)'=(log a)^xに代入して
(e^x)'=e^x
だろうがよ。
それ以前に、お前のいうeは何なんだ？
0055β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/15(水) 15:15:21
>>54
お前何いってんの？>>51の何に対して「間違ってる」といってるんだ？
それで、物理板とかあんなん遊びだよ？オレ元から数学板の住人だし。
物理専門の人間は頭抜けてるヤツ多いんだよなー日本語も変だし。
0056１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 15:58:24
ちょっと変な人に何かを仕掛けられるかもしれないと言っている
そんなこともわからないとはのんきだね
0057β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/15(水) 17:04:53
>>56
意味不明ですがｗ
マジで日本語きちんと話してくれる？自分で話しててもよくわからんこといってるって
後で思うこととかあるでしょ？
物理系の人間はほんっとこういう面で頭悪いのが多いな。
のんきだね　って何だよｗｗまじ正しい日本語使え。
0058１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 17:13:40
(ex)'=x とかいってるやつには言われたくないだろうな
0059１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 17:15:03
>>54
(a^x)'=(log a)a^xじゃないのか？
これにa=eを代入したときlog e=1だから
(e^x)'=e^xとなるんだろ。
書き間違いか？
0060１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 20:34:41
ホンモノのバカを見た
0061402007/08/15(水) 20:42:30
はずかしい間違いをしてしまった（＞＿＜）
0062１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 20:44:45
e^xを微分したら
xe^(x-1)なんだぜ？
しってた？
0063１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 21:09:02
>>62 確かに、「どの変数で」ってのは書かないとね。
0064１３２人目の素数さん2007/08/15(水) 22:02:11
e^(i*(-i))=eより
cos(-i)+isin(-i)=eだから
なんとかして幾何的に定義する
0065１３２人目の素数さん2007/08/16(木) 00:07:35
βよりはみんな救いがあるからな。
何てったって
(ex)'=xとかe'=eとか本気で言ってるし

またいつもみたいに
『本気？冗談だろうがｗ』みたいな事とかいうなら
これはかなりタチ悪い荒らしだ。

…(ex)'=eで(e^x)'=e^xだろうがよ？
0066１３２人目の素数さん2007/08/16(木) 00:44:27
セックスデラックスはエクスタシー

∫e^xdx=e^x+C
0067β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/16(木) 22:06:12
>>65
で、e'=eじゃないの・・？
0068サッフォー ◆RWbI2.Pg1I 2007/08/16(木) 22:35:57
>>67
e'=0 じゃないの？
0069１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 03:09:15
>>67
eは定数だと何度も（ｒｙ
0070１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 03:14:31
e'=e

1'=1
2'=2
π'=π
0071１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 06:54:47
その昔eの最初の20桁をメールアドレスにしていた
0072１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 06:58:45
e≒3
π≒3
∴e≒π
0073１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 07:13:56
e^0=π^0=3^0 ∴ e=π=3
0074１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 09:17:39
>>72　＆>>73
笑える
0075１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 10:41:37
e=2.71828182845904523536028...だけど
以前この板で他の名無しが教えてくれた覚え方

「2.7 1828 1828 459 045 235 36 028」
「ナニ　1発2発 1発2発 しごく おしっこ ふみ子見ろ 鬼や」
を未だに覚えてる
0076β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/17(金) 11:06:43
あれ、オレずっとeは定数なのに微分したらeになる不思議な数って思ってたかも。
0077１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 11:36:03
いま高２で、いきなりネイピア数がでてきたがまったくわからん。
なんで対数関数の導関数は全部еになんのうっぜ
消えろやネイピア


0078１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 11:40:14
高校数学なんて
e^x、sin,cos,tan、x^n
これらとその逆関数の微分ができりゃ十分。
0079１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 12:13:01
>>77
まず、教科書に違和感を感じられなくなったら終わりだ。その点、君は
まだ見込みがあるぞ。違和感を感じたら、なぜそれが自然なものとして
通用しているのか、答えを模索するんだ。答えはすぐには見つからない。
決して妥協せず、その違和感を心の片隅にもち続けろ。
0080１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 13:37:49
>>77
でもネイピア数は微分を簡単にするために生まれてきたんじゃないの？
eなしで対数関数や指数関数の微分ができますか？
0081１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 13:47:44
微分方程式
y'=yかつx=0のときy=1になるもの
この関数をy=e^xと定義する
0082β ◆aelgVCJ1hU 2007/08/17(金) 14:11:20
違和感は消さなきゃいけない。持ち続けろというのは間違い。
よって解説してあげるのが適切。
0083１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 15:32:04
伊予柑だって持ち続けてたら腐るもんなあ
0084１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 17:00:17
>>82
流石に分かったか。e'=0
eとはいえ、定数。
(ex)'=e　
これは只単にeが比例定数なだけの比例関数だからな。
(e^x)'=e^x
微分してもまた同じになる様な指数関数a^xの定数aがe。
0085１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 17:04:21
指数関数の微分(a^x)'=a^xとなる様なaがe。
色んな定義がー　あるんだーなー(ﾎﾟﾝｷｯｷ)
0086842007/08/17(金) 17:09:03
言ってる自分も過去レス見たら抜けばかり
00871stVirtue ◆.NHnubyYck 2007/08/17(金) 20:57:53
Reply:>82 その違和感の原因が何かについては考えたか？
0088１３２人目の素数さん2007/08/17(金) 21:33:48
伊予柑の原因なら山口県なんだけどな
0089542007/08/18(土) 01:58:14
>>59
頭が沸いていた。スマン

えーと
a^x=(e^(log a))^x=e^(x*log a)

で何だ、合成関数の微分なんて忘れた。

若年性の痴呆か…
0090１３２人目の素数さん2007/08/18(土) 08:16:05
>>89
y=a^xと置いて、対数微分。
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