実数aがa<-1/2を満たすとき、2次方程式x^2+ax+a=0は
1より大きい解を持つことを証明せよ。

2次方程式x^2+ax+a=0・・・①の判別式をDとすると
D=a^2-4a=a(a-4)
a<-1/2のとき D>0
解と係数の関係から
α+β=-a αβ=a ・・・②
α≦1かつβ≦1と仮定すると　　α-1≦0、β-1≦0

ここから、分からない事があるので質問させてください。

解説ではこの後、
(α-1)(β-1)≧0　②を代入して　a≧-1/2
これは、与えられた条件a<-1/2に矛盾するとありますが
私が、自力で解いていたときは、(α-1)(β-1)≧0ともうひとつ余分に
(α-1)+(β-1)≦0　これを計算してa≧-1/2との共通範囲を
求めてしまいました。
なぜ、(α-1)+(β-1)≦0が必要でないのかがよく分かりません。
どなたか、教えてください。
よろしくお願いします。