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超準解析（NonstandardAnalysis）

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0001１３２人目の素数さん2006/12/28(木) 16:38:05
超積と超準解析が絶版になったから最近の人はどうやって知るんだろ
0002１３２人目の素数さん2006/12/28(木) 16:49:13
超積と超準解析は分かりやすくて面白い本なので皆さんよみましょう
数学基礎論全く知らなくても読めます
0003１３２人目の素数さん2006/12/30(土) 01:33:50
まえ超準解析スレあった気がしたが落ちたのかな。

>>1
図書館とか、あとは洋書じゃない？
なんかDoverから2000円弱くらいで出てるよ？
斎藤のとはやり方が違うけど。
GTMにもnon-standard analysisの巻はある。
0004１３２人目の素数さん2006/12/30(土) 09:03:37
前スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1152154391/
0005１３２人目の素数さん2006/12/30(土) 15:02:50
とりあえず、これは貼っておかないと駄目ですぅ

キースラーによる「無限小解析の基礎―微積分の新手法」のオンライン版
http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
0006１３２人目の素数さん2006/12/30(土) 16:16:28
あれもこれも絶版か
0007１３２人目の素数さん2006/12/30(土) 17:01:44
スタンダードでは無いがコンウェイの超現実数の再出版バージョンの方ならまだ大丈夫
0008１３２人目の素数さん2006/12/30(土) 17:15:16
>>7
旧訳は酷かったな。新訳は読解可能なのだろうか？
0009１３２人目の素数さん2006/12/31(日) 18:01:19
>>5
それは「無限小解析の基礎―微積分の新手法」の原書とはまた別。
その本は高校用に書いた無限小解析の教科書で、
「無限小解析の基礎」には超実数体の構成法などを書いているが
リンク先のファイルには無いはず。

>>7
KnuthじゃなくてJ.H.Conway？
0010１３２人目の素数さん2006/12/31(日) 19:18:49
アイデアはコンウェイ。著者はクヌース。
0011１３２人目の素数さん2006/12/31(日) 20:36:23
↓うるせーんだよ
↓このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
0012１３２人目の素数さん2007/01/01(月) 13:50:41
>>1
和書でも中村徹「超準解析と物理学」とか竹内外史「無限小解析と物理学」がまだ生きている
から読めないわけではない。
0013１３２人目の素数さん 2007/01/02(火) 11:11:33
「超積と超準解析」ヤフオクで４０００円も出して買っちゃった。
元を取るために、この正月休み中に読破するぞ　ノ
0014１３２人目の素数さん2007/01/02(火) 20:36:28
>>13
あの糞馬鹿高いの落したのはおみゃーか？
0015１３２人目の素数さん 2007/01/02(火) 21:25:38
「あの」かどうかはわかんないけど、４０００円を糞馬鹿高いと
いうなら、それはすまんかったと言っておこう。
0016１３２人目の素数さん2007/01/03(水) 00:16:17
>>15
せっかく買ったんだ、がんばって読破してくれ。
0017１３２人目の素数さん2007/01/03(水) 07:12:06
大学の図書館で借りている俺。
0018１３２人目の素数さん2007/01/03(水) 22:02:09
>>13

この本は、高階述語論理に基づいて定式化している部分があるので、
それを一階の述語論理に翻訳するのは、いい演習になる。
がんばれ。
0019１３２人目の素数さん2007/02/05(月) 17:10:15
499
0020１３２人目の素数さん2007/02/20(火) 14:10:29

0021１３２人目の素数さん2007/03/06(火) 19:02:04
Davisの超準解析がいつのまにかDover化されてるね。
日本語訳買わなくて良かった。
0022１３２人目の素数さん2007/03/06(火) 20:32:51
まだAmazonでは見つからないようだ
覚えておこう。
0023１３２人目の素数さん2007/03/06(火) 22:52:27
これね

Applied Nonstandard Analysis (ペーパーバック)
Martin Davis (著)

http://www.amazon.co.jp/dp/0486442292/
0024１３２人目の素数さん2007/03/06(火) 23:01:28
>>23
ありがとう。「洋書」にしないと見つからないのかｗ
0025１３２人目の素数さん2007/03/11(日) 18:14:33
age
0026１３２人目の素数さん2007/04/24(火) 20:44:46
超準解析の存在意義って何？
0027１３２人目の素数さん2007/04/24(火) 20:56:44
群論の存在意義って何？
0028１３２人目の素数さん2007/04/24(火) 21:39:14
「超積と超準解析」の巻末の討論でも読んでくれ。

まあこの手の質問は存在意義より効能が知りたいんだろうけどｗ
0029１３２人目の素数さん2007/04/25(水) 00:36:49
超準解析（非標準解析、以下NSA）を用いて証明できることは、
NSAを用いなくても普通の解析学の範囲で証明できる。
（こういう保存拡大性が成り立つのではないか、というコメントが巻末討論にある）

ただしNSAは、通常の解析学の議論より非常に直観的であり、
新しい定理などを発見する際にはNSAを用いたほうが見つけやすいことが多い。
0030１３２人目の素数さん2007/04/25(水) 00:59:01
2 階の超準理論は 3 階の標準理論と同じ強さになるという
結果があるということが、20 年くらい前の「数学」の論説
に書いてある。
0031１３２人目の素数さん2007/04/25(水) 17:50:47
ｎ階の超準理論はｎ＋１階の標準理論と同じってことなんじゃない？
0032１３２人目の素数さん2007/06/25(月) 10:55:36
639
0033１３２人目の素数さん2007/07/28(土) 14:59:06
お薦め：

Alain M. Robert
「Nonstandard Analysis」

アマゾンで探すときは「alain robert nonstandard」で絞れる．安い方．多分1700円台．

斉藤の「超積と超準解析」のあとがきを読んだやつは知っているとおもうが、
E.Nelson の internal set theory というのがある．集合論全体を超準化したというか
（あ、言ってて意味わかんねえや）．

それを解説したやつ．前半が基礎固め．後半が応用．まだ全部読んでないけど、よさげ．

M.Davis、斉藤、中村の本みたいに標準モデルと超準モデルが別個に存在しているのではなく、
一つの集合論モデルに二つの意味論がオーバーラップしているというか．そのへんの
オーバーラップの様子を公理にしてある．

意味わかんない文章でスマソ．

0034１３２人目の素数さん2007/07/28(土) 17:48:38
いや分かったｗ
ありがとう探してみるよ
0035１３２人目の素数さん2007/08/30(木) 00:55:47
f(x) = x sin( 1/x ) for x∈R-{0}
　　 = 0　　　　　　 for x = 0
が一様連続であることを示せ。

これ質問スレにあったぐらいの問題だから、やったことある人もいると思うけど、NSAが得意とする問題だと思う。
0036真田虫村幸2007/10/01(月) 08:50:49
質点を表すのに、デルタ関数を用います。
（運動）エネルギーが一点に集中したとき、デルタ関数の平方根が現れます。

これは、シュワルツや佐藤の超関数では表せません。

ウィーナー測度と経路積分の差と思ってください。
0037１３２人目の素数さん2007/10/01(月) 17:05:37
デルタ関数なんて、嫌いじゃぁぁぁ！
0038真田虫村幸2007/10/02(火) 13:33:00
竹内外史「無限小解析と物理学」は面白いが、従来の解析の結果を超えていない気がする。

その点、中村徹「超準解析と物理学」は経路積分を論じて、従来の結果を少し改良していると思う。

以上、独断と偏見。
0039１３２人目の素数さん2007/10/07(日) 10:17:34
やはり数学として新しいことが出てこないとね。

面白いというだけなら、ゲームの方が面白い。
0040１３２人目の素数さん2007/10/09(火) 14:32:04
超準解析を用いると示せてかつ普通の解析だけでは示せない
命題は存在しますか。
0041１３２人目の素数さん2007/10/09(火) 21:12:23
何言ってんの？寝言？
0042真田虫村幸2007/10/10(水) 12:05:05
>>40
>>超準解析を用いると示せてかつ普通の解析だけでは示せない
命題は存在しますか。

本質的にL＾2 で論議する波動方程式・シュレディンガー方程式は
超準解析が役に立って不思議でありません。特に非線形では高階の微分が使えないので。

非線形偏微分方程式なら超準解析よりコロンボの超関数の方が使いやすそうです。

E,E,Rosinger;　Generalized solutions of nonlinear partial differental equations
North-Holland, Mathematical studies 146

には関心を持っている人が結構多いみたいですが、まだ一つの分野として認められていません。

超準解析を解説したりしている人の多くは、本質を理解していない気がします。

0043真田虫村幸2007/10/26(金) 19:48:44
シュワルツや佐藤の超関数では記述できない対象で、
解析学として意味があり、超準解析なら記述できるものが存在します。

ただ取り扱いが難しいので、すぐ取り組んでもなかなか成功しません。
各人がそのような問題に行き当たったとき、超準解析の存在を思い出すことです。
0044１３２人目の素数さん2007/10/27(土) 02:15:06
超準解析を勉強したのはもう20年も前だなあ。
sentence が internal（inner だっけ?) か否かをいちいち考えながら
議論するのはメンドくさいと思う。昔、超準解析を理解していると称する
オッサンが「超準解析でも数学的帰納法は成立する」と騒いでいたので
「無限大自然数の全体に最小値はあるんですか」と聞いたら絶句していた。
（理解しとらんがな）

まあ標準理論の方が気楽でいいな。
0045１３２人目の素数さん2007/11/25(日) 20:47:24
別に必ずしもinternal set theoryとかやらなくても
超準解析は出来るんじゃなかったっけか
0046中卒2007/11/26(月) 01:51:54
>>1
勿論、俺なんかが読める本ではないが
超準解析を記した本としては先輩の知る中では至高らしい。

それにしてもこの先輩、至高と表現すり辺り可成り大袈裟である
0047１３２人目の素数さん2007/12/01(土) 14:43:42
age
0048１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 05:52:51
>>42-43
超準解析ってそんなに汎用性高いのすか？
0049１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 17:28:49
知らん
0050１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 17:52:06
>>48
可測基数が存在すればね。
0051１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 18:13:50
>>48

Alain Connes が解析系でフィールズ賞取ったのも
作用素環と超準解析を合体させた論文による。

もし作用素環だけに関する論文だったら、
多分フィールズ賞にはならなかった筈だ。

今の現状は知らないが、
フィールズ賞を受賞するる基準において
昔は解析系は軽視されていたそうだ。
0052１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 18:23:14
>>48
Ax-Kochen による弱い形の Artin 予想の解決も超準解析が役立っている。
論文の表に現れない所ではもっとめちゃめちゃ使われたんだろうな。
Blum の微分体論然り。表に出てこなくとも裏で使われている。
発見的方法としても重要だ。
0053１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 20:54:03
有難うございます
へー、逆に応用性ないと思ってた
そんなに有用なんだ、ビックリした
0054１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 21:29:42
>>48

そう言えば、
高校数学に出てくる(数列の)極限の公式を操る際に、
私達は無意識のうちに超準解析の思想を炸裂させている。
0055１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 21:50:12
>>54
それはお前だけｗ
0056１３２人目の素数さん2008/01/06(日) 22:27:36
>>48

そう言えば、
高校数学の(数列の)極限の公式を操る際には、
私達は無意識のうちに超準解析の思想を炸裂させている。
0057１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 00:19:08
>>55

このことは大学生にとっては当てはまらないが、
高校生はε-δ論法を知らないんだぞ。
高校生は超準解析の思想を無意識に使って極限を計算しているんだよ。
0058１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 01:10:06
>>57
どうしようもない馬鹿
可測基数も知らないくせに
0059１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 01:35:49
>>58

通常の公理系であるZFCでは可測基数の存在性は証明出来ないんだぜい。
だけど超実数はZFC内で構成可能だ。
それだったら、高校の連中がどのように計算しているかを考えるとしたら、
可測基数の存在性を無意識に仮定して計算していると考えるより、
超実数の存在性を無意識に仮定して計算していると考える方が自然だろ。
0060１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 01:39:59
失礼。

ZFCの中で可測基数は存在しない

は

ZFCの中で可測基数の存在性は証明出来ない

の間違いだね。
0061１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 01:40:55
あ、余計なこと書いちゃった。
0062１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 06:25:43
可測基数の存在性の存在を仮定すれば色々なことが発見的方法で証明出来る。
証明は、これを使わずに普通に証明すればよい。
と、云っているのだ。
0063１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 07:01:35
高校生には、無理だね。
0064１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 09:28:36

Nappy New Year to YOU and to US ALL
0065１３２人目の素数さん2008/01/08(火) 03:47:52
無限小解析とはどう違っていくんでしょか？

また超準無限小解析はたまた無限小超準解析なんて
作り得るんでしょか？無意味？
0066１３２人目の素数さん2008/01/08(火) 10:32:11
>>65

超準解析と無限小解析は同じもの。
次の２冊を読み比べるとよい；
１：超積と超準解析　東京図書
２：無限小解析と物理学　遊星社。
0067１３２人目の素数さん2008/01/08(火) 17:28:57
ナールホド、大変感謝
１はググッてゲットですね
0068１３２人目の素数さん2008/01/09(水) 02:02:01
超関数を超準解析で扱うのはあるよ。
ある意味、超関数は無限小解析だな。
0069１３２人目の素数さん2008/01/10(木) 11:20:54
助けて下さい

ある人は「超現実数でも1=0.999…だよ」と言い
別のある人は「Conwayの超現実数だと1≠0.999…だな」と言い
また別の人は「Conwayの超現実数でも1=0.999…だバカ」と言います｡

果たして真相はどうなのでしょうか?
0070１３２人目の素数さん2008/01/10(木) 12:06:39
>>69

確か、こういうことを議論しているスレがあった筈だ。
そこに行った方が良い。
0071672008/01/10(木) 12:23:57
>>68
あーそっか、そういうのもあるんだ
超々準解析っぽい
0072１３２人目の素数さん2008/01/12(土) 04:34:36
超準解析的超関数は、単に関数列を超準解析的に考えて、関数列の極限と見たに過ぎない。
0073１３２人目の素数さん2008/01/12(土) 05:02:02
超関数列、関数列のどちら？
どの超関数論によるのかで違うかも知れないのでご教示ください。
0074１３２人目の素数さん2008/01/12(土) 09:17:25
>>72
で関数列と書いたのは通常の関数列です。
だから通常の関数の任意の列は極限を持つ。
0075１３２人目の素数さん2008/01/13(日) 16:34:48
>>69
0.999....の定義の仕方によるんだ
どんな流儀でも普通の「数列0.9, 0.99, 0.999, ... の実数の集合における極限値」と同値の定義にする限りは
「1=0.999...」なんだ
ただ超準解析や超現実数では「無限大の数c」というのをちゃんと定義できるから
0.999...を「1-(1/c)」とか「1-(1/10^c)」と定義する事が出来るんだ
そのような定義をすると「1≠1-(1/c)=0.999...」ってなるんだ
だけど超現実数でも普通の定義をする限りは「1=0.999...」なんだ
0076692008/01/14(月) 21:24:48
>>75
有難うございました、このスレでの回答という事もあってか
一応の納得ができました｡
0077１３２人目の素数さん2008/02/27(水) 11:07:17
タケモト
0078１３２人目の素数さん2008/03/06(木) 11:32:59
たぶん>>44のレスで言及されてる人は
Peano算術とかの超準モデルのことが念頭にあったんじゃないかな
0079１３２人目の素数さん2008/03/09(日) 05:04:49
質問。
順序数と超自然数はどう融和するの？
自然数の向こうに超限順序数があらわれますが、これと無限大超自然数では
どっちが大きいと考えるべき？
0080１３２人目の素数さん2008/03/09(日) 08:29:36
>>79
本人の好きに考えればよい。
0081１３２人目の素数さん2008/03/09(日) 14:12:47
>>79
もう少し勉強してから出直してきた方が良いんじゃないの？
0082１３２人目の素数さん2008/03/09(日) 15:34:06
実数の集合Rに新しい数iを追加して
公理「i^2+1=0」も追加するとa,b∈Rに対しai+bを複素数だと考えることが出来る

同じように自然数の集合Nに新しい数cを追加して
公理「c>1」「c>2」「c>3」…を追加すればcを無限大超自然数だと考えられる

これを踏まえれば順序数と比較出来るかどうか分かるね
0083１３２人目の素数さん2008/03/20(木) 22:42:47
ω=(0,1,2,3,…)として、あとは順序数での演算と超自然数での演算を対応させる。
0084１３２人目の素数さん2008/03/20(木) 23:08:49
{0, 1, 2,.........}じゃなくて(0, 1, 2,.........)と書いたら
普通はω上の恒等関数の意味になるかと。

順序数算術の加法とか乗法で交換法則は成り立たないですよ。
0085１３２人目の素数さん2008/03/21(金) 04:18:43
Surreal number風に定義してくれ。
0086１３２人目の素数さん2008/03/25(火) 23:17:16
age
0087１３２人目の素数さん2008/03/25(火) 23:50:15
surreal numberだと
0={|}
1={0|}={{|}|}
2={1|}={{{|}|}|}
…って感じに定義しといて
w={0,1,2,3,4,...|}
だな

それぞれの定義を理解出来るのなら
順序や代数的な同型になるかどうかも出来る
0088１３２人目の素数さん2008/04/01(火) 08:40:52
1 + ω と ω + 1 が違うというとびっくりするヤツが多いね。
ω*2 と 2*ω についても然り
0089１３２人目の素数さん2008/04/01(火) 08:44:00
1 + ω と ω + 1 が違うというとびっくりするヤツが多いね。
ω*2 と 2*ω についても然り
0090１３２人目の素数さん2008/04/01(火) 09:03:04
そういう奴はsurreal number を使えばいい。
0091１３２人目の素数さん2008/05/06(火) 04:55:15
620
0092真田虫村幸2008/06/28(土) 20:16:43
>>68
>超関数を超準解析で扱うのはあるよ。
>ある意味、超関数は無限小解析だな。

今のところ、そう言ってもいいのですが、正確には超関数は無限小解析の一部。

僕の書いた
>>36ー43
をごらんください。
0093１３２人目の素数さん2008/07/28(月) 02:16:36
>>36-43とな、フーム…
0094１３２人目の素数さん2008/09/08(月) 22:33:33
520
0095１３２人目の素数さん2008/09/29(月) 18:33:00
「新しいものを数学に取り込む」ことによって解析学は進歩してきました。

超準解析はその意味で有望です。

しかし「余計なもの」が入ってきてしまうため、取り扱いにくいのが欠点です。
0096１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 13:08:45
保守
0097１３２人目の素数さん2008/11/07(金) 08:52:28
074
0098１３２人目の素数さん2008/11/27(木) 02:05:25
うるさい。
0099１３２人目の素数さん2008/12/29(月) 00:38:06
二年八時間。
0100１３２人目の素数さん2009/01/28(水) 19:13:53
712
0101１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 14:31:52
真田虫幸村氏にお呼びが
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1203116217/263-281
0102１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 21:55:51
age
0103１３２人目の素数さん2009/02/02(月) 23:35:30
そのスレ変なオッサンが自己流で矛盾した式計算をやってるだけだから。
0104１３２人目の素数さん2009/02/03(火) 18:59:28
数学的矛盾はしてないな、それ以前の問題
0105１３２人目の素数さん2009/02/03(火) 19:00:01
意味不成立
0106１３２人目の素数さん2009/02/08(日) 18:55:59
モデルの概念さえ理解出来れば
「超積と超準解析」の内容もそんなに難しくない
0107１３２人目の素数さん2009/02/08(日) 21:34:04
そういうのはメタ数学の範疇であって面白くないんだよ。
0108１３２人目の素数さん2009/02/08(日) 21:46:41
事情は分かりませんが>>101でやってください
0109１３２人目の素数さん2009/02/09(月) 00:31:31
>>44
最小値は存在しないけど、超限帰納法はできますよね。
0110１３２人目の素数さん2009/02/09(月) 11:27:43
>>109 できません。勘違いでした
0111１３２人目の素数さん2009/03/07(土) 10:01:21
保守
0112１３２人目の素数さん2009/04/07(火) 18:06:38
超積と超準解析
0113１３２人目の素数さん2009/05/07(木) 18:13:36
趣味で数学を学んでいる物なのですが、
超準解析を勉強したいと思っています。

予備知識として高校までの数学と集合論と複素関数論と微分方程式論があります。
測度論と位相空間はほとんど知りません。ルベーグ積分とか距離空間程度までです。

このレベルの私にオススメの書籍はありますでしょうか？
ただしあくまで趣味の程度ですので、
激烈に厳密な話になってない書籍がいいです。
よろしくお願いいたします。
0114１３２人目の素数さん2009/05/07(木) 20:01:09
キースラー「無限小解析の基礎」
0115１３２人目の素数さん2009/05/07(木) 23:59:07
和書は超準解析の本数えるくらいしかないよねー
0116１３２人目の素数さん2009/05/08(金) 00:37:56
中村徹「超準解析と物理学」
0117１３２人目の素数さん2009/05/08(金) 11:49:21
みなさんありがとうございます。
>>114
Amazon.co.jp: 無限小解析の基礎: ホーム
ttp://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_gw?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Daps&field-keywords=%96%B3%8C%C0%8F%AC%89%F0%90%CD%82%CC%8A%EE%91b&x=6&y=21
なんと、現在お取り扱いできませんだそうです。。。
>>116
今度探して読んでみようと思います。
0118１３２人目の素数さん2009/05/08(金) 12:03:48
超準解析においては、正の無限大∞に大小関係を付けるのですか？
（順序数ないし集合の濃度みたいに）
その逆数たる+0にも大小関係を付けるのですか？
0119１３２人目の素数さん2009/05/08(金) 13:33:55
>>5のサイトにあるpdfのChapter 1を見れば、だいたいどんなことをやっているか分かると思う
01201182009/05/08(金) 16:28:20
>>119
ありがとうございます。読みます。
0121１３２人目の素数さん2009/05/08(金) 21:35:06
age
0122１３２人目の素数さん2009/05/09(土) 23:21:19
ひとくちに超準解析っていったって、一つだけなわけじゃないし
0123１３２人目の素数さん2009/05/09(土) 23:35:34
とりあえず基礎で良いから日本語で欲しいよなぁ。
何でこんなに日本語の書籍少ないんだ。
英語読みたくない〜
0124１３２人目の素数さん2009/05/13(水) 21:43:03
『超積と超準解析』を図書館で借りてみた。
・・・難しくね？
フィルターとか初めて聞いたんだけど、
他の分野でも基本的な用語なの？
0125１３２人目の素数さん2009/05/13(水) 22:46:23
>>124
難しいとｵﾓﾀ。

フィルターについては「位相のこころ」（ちくま学芸文庫）などを
ざっと見るのが手っ取り早いと思う。
不勉強なんで俺も集合論関係でしか見たことないわｗ
01261242009/05/14(木) 23:04:51
>>125
難しい。
そして気がついたら超実数がいつの間にか導入されてるんだからなぁ。
ううーん。
でも良さそうな本だね。
0127１３２人目の素数さん2009/05/17(日) 20:57:56
>>124
フィルターは開集合系による位相の定義の代わりに使われることも一時期ありました。
大学の図書館でブルバキの Topology Chap1-4 なんか見ると載ってますよ。

でも、『超積と超準解析』を読むのには全然不要な知識です。大事なのは、
フィルタを用いた同値関係が、極大フィルタのときに都合良いものになることを
把握する事です。
01281242009/05/17(日) 21:10:21
>>127
ありがとうございます。
>大事なのは、フィルタを用いた同値関係が、
>極大フィルタのときに都合良いものになることを
>把握する事です。
教えを理解出来るよう精進いたします。
0129１３２人目の素数さん2009/05/18(月) 10:32:51
>>127
一時期っていまはどうなの？
01301272009/05/18(月) 11:49:28
>>129
ここ二十年くらいは全然流行りませんね。フィルターによる位相の定義と開集合系による
位相の定義は同値なのでどちらを使っても良いわけですが、教育効果的な視点ではマイナ
スポイントを幾つか思いつきます。


（１）「開集合」の方が実在感が強いかもしれない
フィルターは集合族になってしまうので、大学二年生で一般位相を教える時には開集合の
方が受け入れやすいかも。

（２）第二可算で充分
フィルターを考えるご利益というのは第二可算の枠にとどまらない位相空間で収束を記述す
ることなのですが、まあ、先進的かつ野心的な研究でもしない限り微分幾何では第二可算、
つまり点列で収束が記述できる空間を考えていれば充分です。したがって、わざわざ
ジュラルミン製の盾を用意せずとも手持ちの鍋の蓋で収束に立ち向かえるわけです。
（大学教育の範疇では。）

（３）位相は解析学だけのものじゃない
代数幾何学におけるザリスキ位相などは、どちらかというと単に「便利な言語」とか
「議論の経済」の観点から使われているような印象（キチンと学んだ事がないので）
を受けますが、いずれにせよ収束などは問題にしないようです。ならば、フィルタの
利点は全く意味を持ちません。

（４）局所的な議論も開近傍で間に合う
コレが一番痛いかも。開近傍系による連続性などの扱いをなるべく綺麗に整理しようと
すると近傍フィルタになるのですが、解析学で連続性に関する細かい議論をするときには
別に綺麗である必要はないのです。


．．．とまあ、非常に個人的な感想を述べてみました。私は数学プロではないので、是非この
板をのぞいているプロの方の意見もお聞きしたいです。
0131１３２人目の素数さん2009/05/18(月) 11:50:57
>>127
ついでに訂正

×　　Topology
○　　General Topology
0132１３２人目の素数さん2009/05/18(月) 11:56:27
>>130
なるほど、参考になります。
0133１３２人目の素数さん2009/06/01(月) 22:29:19
保守
0134１３２人目の素数さん2009/06/07(日) 23:28:56
保守
0135１３２人目の素数さん2009/07/01(水) 08:05:55
保守
0136１３２人目の素数さん2009/07/11(土) 21:47:07
保守
0137１３２人目の素数さん2009/07/25(土) 22:13:40
hash
0138１３２人目の素数さん2009/08/16(日) 15:08:42
保守
0139粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI 2009/08/31(月) 20:16:19
真田虫と云う存在を保守せぬ訳には遺憾
せめて過去ログに保存たいのじゃが
0140１３２人目の素数さん2009/09/04(金) 17:29:48
荒らすな
0141１３２人目の素数さん2009/09/26(土) 12:38:37
日本でこれ専門にしてる人っているのー？
0142１３２人目の素数さん2009/09/29(火) 18:34:25
単なる道具だしねぇ。超準解析の枠組み作りなんかも河合とかネルソンので大体終わってるし。
0143１３２人目の素数さん2009/11/15(日) 23:16:28
無限小解析
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1205683218
0144１３２人目の素数さん2009/12/12(土) 20:57:12
Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard Analysis はどう？
0145１３２人目の素数さん2009/12/16(水) 01:30:17
>>144
その本知らないなぁ。
0146１３２人目の素数さん2009/12/16(水) 07:17:22
GTMの本じゃなかったっけ
0147１３２人目の素数さん2010/01/18(月) 19:38:05
三年二十一日三時間。
0148１３２人目の素数さん2010/03/01(月) 03:58:25
321
0149１３２人目の素数さん2010/03/22(月) 14:48:27
超準解析って一言でまとめると
ある種の議論は無限であっても
有限であるかのごとく扱える　でいいか？
0150１３２人目の素数さん2010/03/23(火) 01:10:30
>>149
端折りすぎだが、第一歩の感覚としてはそんな感じだ。

問題は、極限を含んだような議論を有限の議論で済ませる上手い仕組み
ってのをどうやって作るかということ。徒手空拳で立ち向かえる話ではなく、
それなりの数学者たちが挑んだがうまくいかなかった歴史がある。

A.ロビンソンは、今日の言葉で整理すればある数学的なシステムを規定する
公理系のモデルから、第一階の述語で述べられる事柄について同等なモデル
（超準モデル）を、片方が片方に埋め込まれる形で作れる事を示した。

↑相当いい加減な説明。要するに elementary embedding の事を言いたいんだが。
0151１３２人目の素数さん2010/03/23(火) 09:06:17
いい加減以前に勉強したこと無い人には意味が分からない
01521512010/03/23(火) 23:46:35
だよねー。自分は一番最初 Davis の本と斉藤の本を読んだけどどういうことをしてるのか全然わからなかった。
その後で、竹内の現代集合論入門のある箇所で elementary embedding の話がチラリと載っていて、
これはモデル論の文脈で理解すればわかりやすいのだと気づいた。

超準解析の理解のためには、遠回りのようだけどモデル理論の初歩をやっておくと良いのだと思う。
01531502010/03/23(火) 23:47:16
↑間違えた．名前は150です．
0154１３２人目の素数さん2010/04/24(土) 00:55:23
命題：コンパクト集合Xから実数Rへの連続写像fは最大値を持つ
証明：Xを含む*有限集合Aを考えるとAは*有限だから
AからRへの写像*fは最大値を持つのでx∈Aで最大になるとする
このときXはコンパクトだからy≒xとなるy∈Xがある
fは連続写像だから*f(y)≒*f(x)となるからf(y)が最大値になる

超準解析を使うと証明が直観で出来るのがよい
0155１３２人目の素数さん2010/04/25(日) 04:04:53
また超準解析チャレンジしてみるか
0156１３２人目の素数さん2010/04/25(日) 21:10:49
moke
0157１３２人目の素数さん2010/04/25(日) 21:18:10
いきなりで悪いんですが、循環少数の0.9999...を分数で表すと
何になりますか？明日までに海東が必要なんです。
お願いします
0158１３２人目の素数さん2010/04/25(日) 22:42:59
>>157
あなたには明日までにわかることは不可能。
一生わからない可能性も大。
0159１３２人目の素数さん2010/04/26(月) 01:55:00
>>157
0.999...=1か0.999...≠1かどうかは「0.999...」なんてもんをどう定義するかによって決まるのであり
前者ならば0.999...は1なんだから分数で表せば1/1
後者なら0.999...はよく知った数ではないんだからよく知った分数では表せない

「0.999...」があやふやなものである限り回答は無く
「0.999...」があやふやなものでない限り簡単な回答しか無いんだ

「0.999...」をあやふやなままで分数でどう表すか聞くんじゃない
帰りなさい
0160１３２人目の素数さん2010/04/26(月) 07:01:51
>>69あたりのネタだろ
つき合うな
0161１３２人目の素数さん2010/04/27(火) 07:18:21
Nonstandardってふつうじゃないぐらいなのに超準っておおげさすぎない？
0162１３２人目の素数さん2010/04/27(火) 12:06:12
実数→超実数
標準→超準
って対応だ
英語でも超実数はHyperrealと言うし超をつけるのも普通
0163１３２人目の素数さん2010/04/27(火) 12:10:47
ハイパーリアルとかシュールリアルに超って文字がつくのはわかるが、
ノンスタンダードはぜんぜん超と関係ない、むしろ異端とでも訳すべきだよ
0164１３２人目の素数さん2010/04/27(火) 15:36:25
真面目に相手をした>>162が悪い
0165１３２人目の素数さん2010/04/27(火) 23:33:51
超準という訳がどうのこうの言ってる奴等、少しでも勉強したことあんのかよ。
0166１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 00:48:48
それがどうした
0167１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 01:14:17
ドシタも　こしたも
0168１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 01:51:14
標準モデルの集合・関数などに対応するものが超準モデルに必ずあって
んでその対応物が元の標準モデルでの集合を真に含む時もある事と
標準モデルで成り立つ命題はその命題を超準モデルでの対応物にすれば
超準モデルでも成り立ち、また逆も成り立つ事
あと広大・飽和モデル
これらを考えないのなら単なる無限小解析を考えれば十分
でも人は超準解析をやたら持ち出す
0169１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 02:21:29
>>168
同意。
無限小と聞くと、パブロフの犬の如く超準解析と云わずにおれない。一種の病気。
0170１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 05:41:49
有理整数を係数とする多項式を扱うとき、多項式全体の環や多項式の
零点の集合を見通しよく扱うためにはＱの代数的閉包である複素数体を
考えると便利である。

一方、単一の多項式を扱っている限り、その零点は高々有限次の
Ｑの代数拡大を行えばよいのであって複素数体を持ち出す必要はない。
でも人はやたら複素数を持ち出す。

まさにパブロフ犬のごとき愚かさの骨頂だといえよう。
0171１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 06:43:50
>>170
うるせーよ　あと日本語でＯＫ
0172１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 06:57:41
ハイパーなら超越だろ？
超越解析。。。。亜空間解析
0173１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 07:10:32
>>172
亜ってのは「劣る」という意味だ　亜空間ってのも subspace の訳だな。
0174１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 09:40:57
> Ｑの代数的閉包である複素数体

ダウト
0175１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 12:46:23
>Ｑの代数的閉包である複素数体

わはははは
ありえない
0176１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 14:30:15
ゆとり世代って恐ろしいな
0177１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 14:38:32
よくわからないけど複素数も代数拡大もインチキということは理解した。どっちも現実に存在しないもんね。
0178１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 14:47:34
自然数も現実に存在しないけど何か？
0179１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 15:51:30
現実なんて存在しないよ
0180１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 16:43:59
パブロフの犬は風邪をひいたらパブロン飲む？
0181１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 16:45:21
イデア界のパブロフ君は葛根湯飲んでるよ
0182１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 16:46:37
葛根湯は効くからな
0183１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 16:51:48
くずねそふ
は
かっこんとうのむかな

いわん　ぺとろーう゛ぃっち　ぱぶろふ
そんなこと　いわん
0184１３２人目の素数さん2010/04/29(木) 02:14:29
>>176
ゆとり教育のおかげで、
100分率を理解できない高校生が全体の3パーセントもいるらしい。
残りの7割はちゃんと理解しているけどね。
0185１３２人目の素数さん2010/04/29(木) 02:32:54
>>184
100-3=97
0186１３２人目の素数さん2010/04/29(木) 05:44:13
素数になったトムキンス
0187１３２人目の素数さん2010/04/29(木) 08:45:27
RSが主流だけど。正解したときだけジャーキーを与えると正答率が上がる。
0188１３２人目の素数さん2010/04/29(木) 12:01:10
>>185
ﾈﾀﾆﾏｼﾞﾚｽ
0189１３２人目の素数さん2010/06/09(水) 18:35:58
58
0190１３２人目の素数さん2010/06/21(月) 22:22:43
こんなの出てるぞ！　まぁ入口までだけどｗ

数理論理学
使い方と考え方：超準解析の入口まで
ttp://www.rokakuho.co.jp/data/books/0151.html
0191１３２人目の素数さん2010/06/22(火) 20:29:52
>>190
読んだけどまあまあ面白いね。超準の話は少なめだけど。
0192１３２人目の素数さん2010/06/26(土) 17:24:07
age
0193１３２人目の素数さん2010/07/16(金) 21:48:56
ことしの基礎論サマスクは超準解析だお(^ω^)　みんなも来るといいお(^ω^)

数学基礎論サマースクールー超準解析の基礎と応用ー　
日程： 8月24日（火）13：00より２７日（金）12：00まで．
場所：名古屋大学大学院　情報科学研究科．

今回は合宿形式でなくて名古屋大を会場してるってこと？宿の手配は各自で．

＜プログラム＞
8月24日（火曜日）
13：00〜14：00 受付
14：00〜17：00 超準的手法の導入と nonstandard universe の構成 村上　雅彦

8月25日（水曜日）
9：00〜12：00 弱い公理系を用いた超準解析 横山　啓太
12：00〜14：00 昼休み
14：00〜17：00 Loeb measureと確率論への応用 釜江　哲朗

8月26日（木曜日）
9：00〜12：00 ヒルベルト空間と超準解析、量子力学への応用 山下　秀康

12：00〜14：00 昼休み
14：00〜17：00 超準解析の微分方程式への応用 知澤　清之

8月27日（金曜日）
9：00〜12：00 超準解析の計算量理論，代数等への応用 安本　雅洋
0194１３２人目の素数さん2010/07/20(火) 10:14:57
もまいらも超準解析やれよ。いろいろ捗るぞ。
0195１３２人目の素数さん2010/07/20(火) 11:34:55
行きたいけど名古屋大かぁ・・・青春十八切符とか行けばいいのか・・・
0196 ◆27Tn7FHaVY 2010/07/21(水) 00:42:13
道中つらいよ
0197１３２人目の素数さん2010/07/26(月) 18:02:04
事前申し込みとかあるのか？
0198１３２人目の素数さん2010/07/27(火) 23:53:45
http://twitter.com/patho_logic/status/18251758973

基礎論サマスク、興味があったら この人に聞いてみると何か教えてくれるかも
0199１３２人目の素数さん2010/07/28(水) 00:04:12
自演キモｗ
0200１３２人目の素数さん2010/07/28(水) 01:09:38
サマスクホムペとかないから仕方なく…ですよ。

あと、自分は勝手にこの人の twitter 晒してるんだよね。正直わるいなーとは思ってるけど。
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