漸化式
x(n)={x(1)・x(2)}/[{(x(1)-x(2)}n＋{2x(2)-x(1)}]
によって定まる数列x(n)について
無数に多くのnに対してx(n)が整数となる必要十分条件を求めよ

という問題で以下のようにときました
無数のnについてx(n)が整数ならば
n=1のとき「x(n)=x(1)が整数」…(*)
であることが必要である。逆に(*)のとき
x(n)=x(1)={x(1)・x(2)}/[{(x(1)-x(2)}n＋{2x(2)-x(1)}]かつx(1)が整数
⇔x(2)=x(1)が整数。
このときx(n)はx(n)=x(1)となり確かに任意のnに対して整数となる

以上よりもとめる条件はx(1)=x(2)で、これらが整数

としたのですが、精密な論証になっていないので減点となっていました。
解答では場合分けを利用して
(あ)　x(1)=x(2)のとき　(い)　x(1)≠x(2)のとき
(い)のときは条件を満たさないので不適　という証明をしています

自分の証明方法はどこが不十分か教えていただけないでしょうか?