>>222
n≦√(n^2+[n/3])<n+1 だから √(n^2+[n/3]) の整数部分は n
√(n^2+[n/3]) - n = [n/3]/{√(n^2+[n/3]) + n}
実数 x に対して　x-1<[x]≦x が成り立つので
{(n/3)-1}/{√(n^2+n/3) + n}＜√(n^2+[n/3]) - n ＜(n/3)/{√(n^2+n/3-1) + n}
{(n/3)-1}/{√(n^2+n/3) + n}→ 1/6
(n/3)/{√(n^2+n/3-1) + n}→ 1/6
なので、はさみうちの原理から
√(n^2+[n/3]) - n → 1/6
よって
lim_[n→∞]f(n) = sin(π/3) = (√3)/2

1/6 に収束することがわかれば √(n^2+[n/3])-(n+1/6) →0 を示す手もある。