回転して一致する塗り方を同一視するという前提でいいのかな？
Ａ〜Ｆまでの６色で塗り分けるとして、Ａの対面はＢ〜Ｆの５通り。
残り４面の塗り方は３！＝６通り。よって５ｘ６＝３０通り。

６面の塗り分け方は６！通りで、立方体の合同変換が４！通りだから、
６！／４！＝６ｘ５＝３０通りという回答でもいい。