>>581
　自然数nは、素数べきの積に分解できる:
　n = Π[p:素数] p^(e_p),　e_pは負でない整数。
よって
　Σ[n:自然数] 1/n = Π[p:素数] 1/{1-(1/p)}　　……　(オイラー積表示)
アルキメデスの原理を使えば、左辺が発散することを示せる。
素数が有限個と仮定すると、右辺は有限項の積だから有限となり、明らかに矛盾。

こんな感じでいいかい？