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非負整数nに対して、17^(2^n)−1,17^(2^n),17^(2^n)＋1という連続する3つの
整数は、それぞれ2つの平方数の和で表せる。これを数学的帰納法で示す。
(n＝0のとき)3つの整数は16,17,18である。
16＝4^2＋0^2
17＝1^2＋4^2
18＝3^2＋3^2
であるから、確かに成り立つ。
(n＝k≧0のとき成り立つとすると、n＝k+1のとき)
3つの整数は17^{2^(k+1)}−1,17^{2^(k+1)},17^{2^(k+1)}＋1である。
17^{2^(k+1)}＝0^2＋{17^(2^k)}^2
17^{2^(k+1)}+1＝{17^(2^k)}^2＋1^2
であるから、あとは17^{2^(k+1)}-1が2つの平方数の和になることが示せればよい。
仮定から、ある非負整数a,b,x,yが存在して
17^(2^k)−1＝x^2＋y^2
17^(2^k)＋1＝a^2＋b^2
と表せるので、
17^{2^(k+1)}−1＝{17^(2^k)＋1}{17^(2^k)−1}＝(a^2＋b^2)(x^2＋y^2)
＝(ax＋by)^2＋(ay−bx)^2
となり、確かに成り立つ。