>懐疑することさえ不可能な次元

これは人によって違う。猜疑心の深い人には何をいっても無駄。
したがって無限次元。なんでも鵜呑みにする人は０次元。

だから、>>11 さんのおっしゃるような証明を系統的に与えるのは
不可能です。少なくとも私のような浅学者には。

ただ、ゲンツェンのカット消去定理によって、述語論理が
無矛盾であることが示されており、
矛盾に陥ることがない・・・という意味で
述語論理が「正しい」ことが有限界のステップで「証明」
されています。
その証明を懐疑するかどうかは、その人の自由。