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Lebesgue積分ｾﾞﾐ 2

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0001１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 20:13:00
前スレ
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109910304/
0002１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 20:45:52
測度って、有限測度、ルベーグ測度、ハウスドルフ測度の他に
何あんの？
0003１３２人目の素数さん2006/12/18(月) 20:51:06
>>2

実変数実数値の右連続関数から定まるスティルチェス測度があります。
確率論でよく使われます。
0004１３２人目の素数さん2006/12/19(火) 02:12:55
スレタイの「ゼミ」は要らんだろ。
前スレの最初のほう見てみりゃ分かるが。
0005１３２人目の素数さん2006/12/21(木) 01:36:46
そんなのいろいろあるにきまってるだろ。

ちょっと考えれば、速度なんか無限にあることが分かるのではないか？
0006１３２人目の素数さん2006/12/21(木) 03:04:15
ぽいんと めじゃー
0007１３２人目の素数さん2006/12/21(木) 16:29:47
(gaugeの定義)
Rの開集合系をθとおく。写像γ：R→θのうち、各t∈Rに対してt∈γ(t)が
成り立っているものを(R上の)gaugeと呼ぶ。例えばφ(t)＝(t−1,t＋1)で定義
されるφ：R→θはgaugeである。gauge全体の集合系をΓと表すことにする。

(目印付き分割の定義)
I＝[a,b] (-∞＜a＜b＜∞)とする。ある自然数mに対し
Δ＝{ (ξi，Ii)｜ξi∈I (i＝1〜m)，I1〜Imは非重複な 区 間 塊 で∪Ii＝I}
と表される集合Δを「Iの目印付き分割」と言う。例えば、
集合Δ＝{ (0，[0,1/3]∪[2/3,1]), (1/2，[1/3,2/3]) }は閉区間[0,1]の
目印付き分割である。Iの目印付き分割全体の集合族をD(I)と表すことにする。

(γ−fineな目印付き分割の定義)
γ∈Γ，Δ＝{ (ξi，Ii)｜i＝1〜m}∈D(I)とする。γ，Δが次の条件を
満たすとき、このΔはγ−fineであるという。
・各iについてIi⊂γ(ξi)が成り立つ。
γ-fineなIの目印付き分割全体の集合族をD(I；γ)と表すことにする。
定理：任意のγ∈Γに対して、D(I；γ)は空でない。
証明：閉区間のコンパクト性の証明とほとんど同じだが、書くのがマンドクセ。

(積分)
f：I→Rが次の条件＊を満たすことと、fがI上でルベーグ可積分であることは同値。
・∃A∈R, ∀ε＞0, ∃γ∈Γ s,t Δ∈D(I；γ) → ｜S(f；Δ)−A｜＜ε　…＊
ただしS(f；Δ)＝Σ[i＝1〜m]f(ξi)｜Ii｜ (つまりリーマン和)と定義する。
また、区間塊Jに対して｜J｜はその長さとする。
証明：マンドクセ。長文スマソ。
0008１３２人目の素数さん2006/12/26(火) 11:03:22
AMS-LaTeXで書けヴぉけ
0009１３２人目の素数さん2006/12/26(火) 12:46:14
AMSって言いたかったの？
0010１３２人目の素数さん2007/01/02(火) 10:50:43
>>9
お前はAMSとAMS-TeXとAMS-LaTeXの違いもわからんのかヴぉけ
0011１３２人目の素数さん2007/01/04(木) 22:02:36
AMS = American Mathematical Society ?
0012１３２人目の素数さん2007/02/05(月) 17:11:03
312
0013１３２人目の素数さん2007/02/17(土) 22:21:53
移動してきた。本ｽﾚでの会話。

615 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2007/02/17(土) 20:51:20
>>604
＞積分域の置換写像については、有界可積分（例えば連続）としている。明らかに絶対連続を意識している。

逆写像が微分可能ってのが、ルベーグの意味ではラドン・ニコディム微分可能であるということか。
上のほう（>>555）の確率解析の話に出てきたギルサノフ変換にも繋がるんだな。フムフム。

ルベーグ積分ってなんかピンと来なかったんだよね。


616 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2007/02/17(土) 21:03:23
有界変動じゃないとルベグ化石じゃない


617 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2007/02/17(土) 21:14:06
>>616
あ、ﾔﾊﾟｰﾘ違うﾆｮ？kwskｵｼｴﾚ！
0014１３２人目の素数さん2007/02/17(土) 22:22:58
618 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2007/02/17(土) 21:27:54
ルベッグ積分ってスイカを自由にみじん切りにチョップして、種があれば１、
なければ０でスープを取る操作。


619 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2007/02/17(土) 21:53:57
>>618
えっと、
「種があれば１」というのが絶対連続函数、
「種がなければ０」というのが特異函数、
ということ？たしかルベーグの分解定理。はて、話がまだ見えん。

621 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2007/02/17(土) 22:07:12
「可積なラドン・ニコディムの密度関数をルベーグ積分したらμに関して絶対連続な加法的集合函数である。」ﾀﾞﾀｰよね？
0015１３２人目の素数さん2007/02/17(土) 22:24:36
今、思ったが
「種があれば0」というのが特異函数、
「種がなければ1」というのが絶対連続函数だ。
0016１３２人目の素数さん2007/02/17(土) 22:25:41
種は零集合でしょ。
0017１３２人目の素数さん2007/02/17(土) 22:29:09
で、「可積なラドン・ニコディムの密度関数をルベーグ積分したらμに関して絶対連続な加法的集合函数である。」が積分値を持つのは、
ラドン・ニコディムの密度関数が『有界変動』なの？
0018１３２人目の素数さん2007/02/17(土) 22:34:45
ということは、絶対連続な加法的集合函数がラドン・ニコディム微分可能だからといって、
逆の「密度関数がルベーグ可積」はいえない。密度関数が有界変動であってはじめて値を持つということでいい？
0019１３２人目の素数さん2007/02/24(土) 10:34:15
age
0020１３２人目の素数さん2007/03/11(日) 18:34:47
semi
0021１３２人目の素数さん2007/03/23(金) 14:17:30
これから初めてルーベグに突入なんだけどまずどんな本がお勧めですか？ゆるい感じにスタートしたいのですが…
0022１３２人目の素数さん2007/03/23(金) 23:26:47
志賀 浩二「ルベーグ積分30講」（朝倉書店）

を読んでから

伊藤 清三「ルベーグ積分入門」（裳華房）

に進むのがいいと思う。いきなり伊藤の本でもいいのだけど
ゆるい感じのスタートにはならないかもしれないので。
0023１３２人目の素数さん2007/03/25(日) 10:06:49
伊藤でも無理はないと思うけどね
0024１３２人目の素数さん2007/03/29(木) 18:52:36
伊藤清三のは結構丁寧に書かれてる本だよね
たぶん
0025１３２人目の素数さん2007/04/16(月) 21:57:17
>>24
読んでから家
0026１３２人目の素数さん2007/04/16(月) 22:11:45

　　　　　 /| 　 , ,
　　　　　 |/＿＿ ',
　　　　　 ヽ| l　l│＜ﾊｰｲ
　　　　　　┷┷┷
0027１３２人目の素数さん2007/06/25(月) 10:15:00
796
0028１３２人目の素数さん2007/07/17(火) 18:54:30
新井仁之「ルベーグ積分講義」（日本評論社）
がよい
0029１３２人目の素数さん2007/07/17(火) 21:50:39
>>28
あ、本棚に飾ったままだ… (*ﾟ∀ﾟ)
0030１３２人目の素数さん2007/07/21(土) 00:53:17
age
0031１３２人目の素数さん2007/07/23(月) 21:39:43
>>25
良い本だけど、具体例は少ないなあ。
抽象的な部分が多くて、具体的にどういった場合に
適用すれば良いか、みたいなのはあんまり無かった
0032１３２人目の素数さん2007/08/31(金) 18:14:40
0033１３２人目の素数さん2007/10/30(火) 12:04:48
584
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