Kを複素数体Cの部分体とし、α(∈K)がKの平方数でない
ときは、[K(√α):K]=2であることを示せという問題なの
ですが、以下の証明であっているでしょうか？
[K(√α):K]=2を示すためには、K(√α)のK上の基底の一つ
が{1,√α}であることを示せばよい。
x,y∈Kで、x・1+y・√α=0とせよ。x+y√α=0である。
よって、x=y=0　故に、xとyはK上一次独立である。
∀z∈K(√α)をとる。z=x+y√α(∃x,y∈K)
よって、z=x・1+y・√α　
したがって、1,√αはK(√α)の基底になっている。
どなたかご教授して下さい。よろしくお願いします。