>>139
ちょっと力技が過ぎるかもしれませんが…一応解けました。

x^2-2y^2=7　…(Ａ)において
y<4なる自然数解が(x,y)=(3,1),(5,3)以外にないこと、
X[n]Y[n]が(Ａ)の解であるときX[x+1]Y[n+1]も解であることを最初に確認。
ここで漸化式を逆にX[n],Y[n]について解くと
X[n]=-3X[n+1]+4Y[n+1],Y[n]=-2X[n+1]+4Y[n+1]
となるので、次に上のような逆操作を考える。
今、自然数x,y(ただしy≧4)が(Ａ)の解である時
x'=-3x+4y,y'=-2x+3y　は共に(Ａ)の"整数"解となるが
ここでy≧4なので（計算すると）x'=-3√(7+2y)+4y>0,y'=-2√(7+2y)+3y>0となり
x',y'は（Ａ）の自然数解でもあると分かる。
Y[n]は増加数列だったので、yからy'を得ると常にy'<yとなる。
したがってこの操作を繰り返すとそのうちに
y<4なる自然数解(x,y)が得られるが、それは(3,1),(5,3)のいずれかに他ならない