「x>0において e^x > 1+x を示せ」
みたいな問題で、参考書でよく次のような解をみかけます。

　f(x) = e^x -1-x とおく。
　するとx>0において f'(x)=e^x - 1 >0 なので x>0においてf(x)は単調増加。
　よってx>0において 0=f(0)<f(x) なので題意は示された。

僕が疑問に思ってるのは、
二行目まではいいとして、「x>0においてf(x)は単調増加」ということは
「正の数 p<q に対して f(p)<f(q)」という意味のはずなので、
このpとして0を選んでる解の三行目の記述はマズイんじゃ・・・
ということです。

f(x)は連続関数なので、三行目の記述も間違いではないと思いますが、
だったら二行目で「x≧0においてf(x)は単調増加」というふうに、
最初から0も含んだ範囲で言えばいいのに、と思うんです。

これは慣習的に決まっているんでしょか？
あるいは僕の疑問はピント外れでしょうか？
よろしければご教授ください。